Spécialité 1ère – Chapitre 7 Page 5
III – Sinus et cosinus d’un nombre réel 1) Définitions et propriétés
Définition 3 :
Soit un réel et M le point associé sur le cercle trigonométrique.
Dans le repère orthonormé O; , :
- le cosinus de , noté cos , est l’abscisse du point M ; - le sinus de , noté sin , est l’ordonnée du point M ; - Le point M a pour coordonnées cos ; sin .
Exemple 2 :
Le réel 0 a pour point-image I de coordonnées (1;0) ainsi cos0 1 et sin0 0
Le réel
a pour point-image J de coordonnées (0;1) ainsi cos 0 et sin 1
Le réel a pour point-image I’ le symétrique de I par rapport à O, il a pour coordonnées 1; 0 ainsi cos
1 et sin 0…
Propriété 4 :
Pour tout réel , on a : 1 cos 1 1 sin 1
cos sin 1 que l’on peut aussi écrire cos sin 1.
Démonstration :
Les deux encadrements se justifient aisément compte tenu de la définition de cos et sin . Ce sont les coordonnées des points appartenant au cercle trigonométrique.
Les points du cercle ont des coordonnées comprises entre 1 et 1 ce qui justifie : 1 cos 1 et 1 sin 1
En ce qui concerne la dernière égalité, on peut la justifier dans le cas où est un angle aigu : On note H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses et K le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
Dans le triangle OHM rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore : Or cos et sin
Ainsi ⇔ cos sin 1 1
On retrouve ces démonstrations sur la vidéo ci-dessous :
https://lycee.hachette-education.com/Barbazo/1re/#chapitre_3_p092_sinus_et_cosinus_d_un_nombre_reelmp4
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2) Valeurs remarquables du sinus et du cosinus
Pour retrouver ces valeurs par le calcul, reprendre le N°6 page 79, la situation 3 page 81 ou encore la vidéo suivante :
https://lycee.hachette-education.com/Barbazo/1re/#chapitre_3_p092_valeurs_remarquables_du_sinus_et_du_cosinusmp4
Mesure de en degré 0 30 45 60 90 180 Mesure de en radian 0
6
4
3
2
cos () 1 √3
2 √2 2
1
2 0 1
sin () 0 1
2
√2
2 √3
2 1 0
