Terminale S Exercices Bac : complexes 2016-2017
EXERCICE 1 On se place dans le plan complexe rapporté au repère O, −→
u , −→ v
.
Soitf la transformation qui à tout nombre complexez non nul associe le nombre complexef(z) défini par : f(z) =z+1
z. On noteM le point d’affixez etM′ le point d’affixef(z).
1. On appelle A le point d’affixea=−√22+ i√22. a. Déterminer la forme exponentielle dea.
b. Déterminer la forme algébrique def(a).
2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équationf(z) = 1.
3. SoitM un point d’affixez du cercleC de centre O et de rayon 1.
a. Justifier que l’affixez peut s’écrire sous la formez= eiθavecθ un nombre réel.
b. Montrer quef(z) est un nombre réel.
4. Décrire et représenter l’ensemble des pointsM d’affixez tels quef(z) soit un nombre réel.
EXERCICE 2 On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct O, −→
u , −→ v
. On noteC l’ensemble des pointsM du plan d’affixez tels que|z−2|= 1.
1. Justifier queC est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
2. Soitaun nombre réel. On appelleDla droite d’équationy=ax.
Déterminer le nombre de points d’intersection entreCet Den fonction des valeurs du réela.
EXERCICE 3 On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturelnpar : ( z0 = 0
zn+1 = 1
2i×zn+ 5
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixezn. On considère le nombre complexezA= 4 + 2i et A le point du plan d’affixezA. 1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnparun=zn−zA.
a. Montrer que, pour tout entier natureln, un+1= 1 2i×un. b. Démontrer que, pour tout entier natureln:un=
1 2i
n
(−4−2i).
2. Démontrer que, pour tout entier natureln, les points A,Mn etMn+4 sont alignés.
EXERCICE 4 On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale.
On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.
On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O ; −→u ; −→v).
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes zk=
1 + k
n
ei2kπn et on note Mk le point d’affixezk.
Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les pointsMk avec 06k6n.
Par exemple, pour les entiersn= 6, n= 10 etn= 20, on obtient les figures ci-dessous.
n= 6 n= 10 n= 20
1
−1
−2
1 2
−1
−2
1
−1
−2
1 2
−1
−2
1
−1
−2
1 2
−1
−2
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Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points
Dans cette partie, on suppose quen= 6. Ainsi, pour 06k66, on azk =
1 + k 6
ei2kπ6 . 1. Déterminer la forme algébrique dez1.
2. Vérifier quez0et z6 sont des entiers que l’on déterminera.
3. Calculer la longueur de la hauteur issue deM1 dans le triangleOM0M1 puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 7√
3 24 .
Partie B : Ligne brisée formée à partir de n+ 1 points Dans cette partie,nest un entier supérieur ou égal à 2.
1. Pour tout entierktel que 06k6n, déterminer la longueurOMk.
2. Pourkentier tel que 06k6n−1, déterminer une mesure des angles−→u ; −−−→OMk
et−→u ; −−−−−→OMk+1
. En déduire une mesure de l’angle−−−→
OMk ; −−−−−→
OMk+1
.
3. Pourk entier tel que 0 6k6n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue deMk+1 dans le triangle OMkMk+1 est égale à
1 +k+ 1 n
×sin 2π
n
.
4. On admet que l’aire du triangle OMkMk+1 est égale àak = 1 2sin
2π n
×
1 + k
n 1 + k+ 1 n
et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale àAn=a0+a1+· · ·+an−1.
L’algorithme suivant permet de calculer l’aireAn lorsqu’on entre l’entiern: VARIABLES Aest un nombre réel
kest un entier nest un entier TRAITEMENT Lire la valeur den
Aprend la valeur 0 Pourkallant de 0 à n-1
Aprend la valeurA+1 2sin
2π n
×
1 + k
n 1 + k+ 1 n
Fin Pour
SORTIE AfficherA
On entre dans l’algorithmen= 10
Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A 0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726
5. On admet queA2= 0 et que la suite (An) converge et que limn→+∞An =7π 3 ≈7,3.
Recopier et compléter les lignesL6 etL13 de l’algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier ntel que An>7,2. On ne demande pas de déterminern.
L1 VARIABLES : Aest un nombre réel
L2 kest un entier
L3 nest un entier
L4 TRAITEMENT : nprend la valeur 2
L5 Aprend la valeur 0
L6 Tant que. . .. . .. . .. . .
L7 nprend la valeurn+ 1
L8 Aprend la valeur 0
L9 Pourk allant de 0 àn−1
L10 Aprend la valeur A+1
2sin 2π
n
×
1 + k
n 1 +k+ 1 n
Fin Pour
L12 Fin Tant que
L13 SORTIE : Afficher. . .
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