CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES DU 7/04/11 (durée 1h)
Soigner les présentation et rédaction. Documents et calculatrices interdits. Barème : 5 – 7 - 8 EXERCICE 1
1) Soit la matrice ܣ = ൭2 −3 0 4 −5 1 2 0 4൱
Justifier que A est inversible puis calculer sa matrice inverse ܣିଵ. 2) Soit le système linéaire donné par :
൝ 2ݔ − 3ݕ = 8 4ݔ − 5ݕ + ݖ = 15
2ݔ + 4ݖ = 1
En utilisant un équivalent matriciel , résoudre le système proposé.
EXERCICE 2
1) Diagonaliser la matrice triangulaire : ܶ = ൭9 0 0 1 4 0 1 1 1൱ On donnera tout le détail du raisonnement et du calcul.
2) Trouver une matrice, carrée d’ordre 3, ܯ vérifiant ܯଶ= ܶ. EXERCICE 3
On considère la suite réelle ሺݑሻ∈ఌℕ définie par :
- la donnée de ses deux premiers termes : ݑ= 1 et ݑଵ= 2. - la relation de récurrence : ∀ ݊ ∈ ℕ, ݑାଶ= 3ݑାଵ− 2ݑ
1) Soit la matrice ܣ = ቀ3 −21 0 ቁ .
Montrer avec rigueur, selon la méthode de votre choix, que : ∀ ݊ ∈ ℕ, ܣ= ൬2ାଵ− 1 −2ାଵ+ 2
2− 1 −2+ 2 ൰ 2) a) Vérifier que :
∀ ݊ ∈ ℕ, ቀ௨௨శమశభቁ = ܣ × ቀ௨௨శభ ቁ
../..
b) Démontrer par récurrence que : ∀ ݊ ∈ ℕ, ቀ௨௨శభ ቁ = ܣ× ቀ௨௨భబቁ
c) En déduire l’expression de ݑ en fonction de n, ݑ et ݑଵ . Calculer ݑ଼.
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