• Pour tout nombre réel

Chap.2 : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

PARTIE 1 : Définition et étude de la fonction logarithme népérien

a) Définition Définition :

La fonction logarithme népérien est la fonction notée ln, définie et dérivable sur ……… telle que :

•

Pour tout nombre réel x de ] 0 ;

[, ln′ 𝑥 = ……….

•

Pour tous nombres réels a et b de ] 0 ;

[, ln 𝑎×𝑏 =………….

Notation : Soit x un nombre réel de ]0 ;+¥[, ln(x) se note plus simplement lnx. Remarques : • On a : ln 1 =………

• La fonction ln est définie sur ]0 ;+¥[, elle n’est donc définie que pour des valeurs ……….. ………..

• On ne peut calculer ln x que pour des valeurs de x strictement positives mais le résultat peut être positif ou négatif.

• Pour tout nombre réel x de ]0 ;+¥[, une valeur approchée de ln x s’obtient avec la touche ln de la calculatrice.

Par exemple : ln2»0,69 ln6»1,79 0,69 2

ln1»- ln(-2)»ERREUR

Exercice : a) Soit f la fonction définie sur ]0 ;+¥[ par f(x)=x⁴-4x³+3x²+5x+2+lnx^.

Donner la valeur exacte et une valeur approchée de f(2) et f(1) puis calculer f'(x), pour tout réel x de ]0 ;+¥[.

………..………..………..

b) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur ]0 ;+¥[ : x x

x x x

g 5 ln

5 2 2 ) 3

( = ⁴+ ²- + - h(x)=3lnx ln ln3 2

sin 5 6 4 )

(x = x³- x+ x-

i j(x)=xlnx ………..………..………..

………..………..………..

………..………..………..

………..………..………..

………..………..………..

b) Sens de variation

Pour tout réel x de ]0 ;+¥[, 1 0 ) (

ln' = >

x x donc la fonction ln est strictement ……… sur ]0 ;+¥[.

Le tableau de variation de la fonction ln est donc le suivant :

c) Courbe représentative

Voici la courbe représentative ! de la fonction ln sur l’intervalle [0,1 ; 12] :

x 0 +¥

Signe de ) ( ln' x

Variations de la fonction ln

L’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction ln est donnée par :

Avec et

Donc l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 est : 𝑦 =……….

!

+

d) Allures de la courbe aux voisinages de +∞ et 0

Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au dixième) :

x 10 10³ 10⁶ 10⁹ 10²⁰ 10⁵⁰ 10⁸⁰ 10⁹⁹ 10⁹⁹⁹

x

ln 2,3 6,9 13,8 20,7 46,1 115,1 184,2 228,0

On s’aperçoit que plus x est grand, plus lnx est grand, on dit que la limite de lnx est +¥ en +¥ et on note :

………..

Au voisinage de 0 :

Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au dixième) :

x 0,1 0,01=10^-2 10^-5 10^-10 10^-25 10^-60 10^-80 10^-99 10^-999 x

ln −2,3 −4,6 −11,5 −23,0 −57,6 −138,2 −184,2 −228,0 On constate que la limite de lnx est -¥ en 0. On note :

………..

e) Signe de la fonction ln

D’après les résultats précédents, pour tout réel x de ]0 ;+¥[, le signe de lnx est le suivant : x 0 … +¥

Signe de x

ln 0

Propriétés :

•

ln 𝑥 > 0 si et seulement si …………

•

ln 𝑥 < 0 si et seulement si …………

•

ln 1 = 0

PARTIE 2 : Propriétés

a) Logarithme d’un produit Propriété :

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a : ln 𝑎×𝑏 =………

Exemples : •

ln 12 = ln(2×6) =…………..

•

ln 12 = ln(3×4) =.

• Pour tout réel x strictement positif :

ln 5𝑥 =………..

b) Logarithme de l’inverse Propriété :

Pour tout nombre réel a strictement positif, on a : ln

7

=………..

Démonstration : Pour tout nombre réel a strictement positif, 1 ln1 0

ln ÷= =

ø ç ö èæ ´

a a .

On en déduit que 1 0 ln

ln + =

a a ^{et donc} a

a ln ln1=- ^.

Exemples : ln2 2

ln1=-

.

c) Logarithme du quotient Propriété :

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a : ln

=………

Démonstration : Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, a b a b

a b b

a 1 ln ln

ln 1 ln

ln

ln ÷= + = -

ø ç ö èæ ´

= .

Exemples : •

ln

=………

• Pour tout réel x tel que 2 -1

>

x :

ln

=………..

Ti2D / LN

Format Cours – Fonction Logarithme népérien (définition et étude)

Ti2D / LN

Format Cours – Fonction

Logarithme népérien

(propriétés)

d) Logarithme d’une puissance Propriété :

Pour tout nombre réel a strictement positif et tout nombre réel r, on a : ln 𝑎

=………

Cas particulier : Pour tout nombre réel a strictement positif, on a :

2 1

a

a= ^donc a a lna 2 ) 1 ln(

ln ²

1

=

=

PARTIE 3 : Applications

a) Etude de fonctions

Soit f la fonction définie sur ]0 ;+¥[ par f(x)=3x²-6lnx^. a) Montrer que pour tout réel x strictement positif,

x x x

f 6 6

) (

' = ²- .

………

………

………

………

b) En déduire les variations de la fonction f sur ] 0 ;+¥[.

………

………

………

………

………

c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 1.

………

………

………

b) Constante d’Euler Définition :

On note e l’unique nombre réel vérifiant ln 𝑒 =…. Le nombre e est appelé constante d’Euler.

Remarque : A la calculatrice, on tape sur la touche e^x puis sur 1 . Une valeur approchée de ce nombre est e»2,718.

c) Résolutions d’équations et d’inéquation

La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ;+¥[, on en déduit les équivalences suivantes pour tous réels a>0 et b>0.

Propriétés :

•

a = b si et seulement si ……….

•

a £ b si et seulement si ……….

•

a ³ b si et seulement si ……….

Exemples : Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :

1)

2)

3)

4) 2 ln 𝑥 − ln 9 > 0

………

………

………

………

………

………

Remarques :

•

On appelle fonction logarithme décimale, la fonction notée log et définie sur ] 0 ;

[ par

10 ln ) ln

log( x

x =

.

On appelle fonction logarithme de base 2, la fonction notée

et définie sur ] 0 ;

[ par

2 ln ) ln (

log₂ x = x

.

• Pour tout nombre entier n, log10ⁿ=n ^et log₂2ⁿ=n^.

• La relation fonctionnelle de la fonction ln et ses conséquences sont encore valables pour ces deux fonctions.

• Ces deux fonctions ont le même sens de variation que la fonction ln car ln10>0 et ln2>0.

Ti2D / LN

Format Cours – Fonction Logarithme népérien (étude de fonction)

Ti2D / LN

Format Cours – Fonction Logarithme népérien (équations et

inéquations)