SEMAINE 23 COURBES PLANES NAPPES PARAM ´ETR ´EES
EXERCICE 1 :
SoitO un point du plan euclidien orient´e, soit Γ un arc de classe C1, r´egulier. `A tout pointM sur Γ, on associe le pointT, intersection de la tangente `a Γ enM avec la perpendiculaire
`
a (OM) issue deO.
D´eterminer Γ de sorte que la distance M T soit constante ´egale `a 1. Calcul d’une abscisse curviligne sur Γ.
- - - - Notons s une abscisse curviligne sur Γ. Au point M
x(s) y(s)
, le vecteur tangent unitaire est
−
→τ
x0(s) y0(s)
. Quitte `a changer l’orientation de Γ, on peut supposer que −−→
M T = −→ τ. La condition `a ´ecrire est alors−→
OT·−−→
OM = 0, ce qui conduit `a l’´equation diff´erentielle (*) : x(x+x0) +y(y+y0) = 0.
On peut supposer que l’arc recherch´e ne passe pas parO, et le th´eor`eme de rel`evement permet de poser
(x(s) = ρ(s) cosθ(s)
y(s) = ρ(s) sinθ(s) , les fonctions ρ et θ ´etant de classe C1. On a alors la relation(**):ρ0(s)2+ρ(s)2θ0(s)2= 1 qui exprime quesest un param`etre normal sur Γ.
En posant R(s) = ρ(s)2 = x(s)2+y(s)2, l’´equation (*) s’´ecrit R0(s) + 2R(s) = 0, ce qui s’int`egre en R(s) = C2e−2s, puis ρ(s) = C e−s. En r´einjectant dans (**), on obtient C2e−2s 1 +θ0(s)2
= 1, d’o`u
θ0(s) =dθ ds =±
re2s C2 −1. Cherchons maintenant une ´equation polaire de Γ :
dρ dθ = dρ
ds ds
dθ =± C e−s qe2s
C2 −1
=± C2e−2s
√
1−C2e−2s =± ρ2 p1−ρ2 .
Nous sommes donc ramen´es `a int´egrer l’´equation diff´erentielle autonome (`a variables s´eparables) dθ=±
p1−ρ2
ρ2 dρ. En posantρ= sinu(on a n´ecessairement 0< ρ≤1), on obtient Z p
1−ρ2 ρ2 dρ=
Z
cotanudu=−cotanu−u+k=− r1
ρ2−1−arcsinρ+k , o`ukest une constante. Finalement,
θ=θ0±
arcsinρ+ r1
ρ2 −1
(0< ρ≤1).
Les courbes solutions s’obtiennent `a partir de l’une d’entre elles par toutes les isom´etries fixantO.
L’abscisse curviligne est s=−lnρ C
soit, `a une constante pr`es,s=−lnρ. La spirale a donc une longueur infinie.
EXERCICE 2 :
Dans le plan euclidien, soit Γ un arc de classeC4, bir´egulier. On noteIle centre de courbure de Γ en un pointM. On noteDla d´evelopp´ee de Γ (lieu des centres de courbure). Le centre de courbure de Dau pointI (s’il existe) est not´eJ. On note enfinP le milieu de [M I], et C le lieu des pointsP lorsqueM parcourt Γ.
Montrer que la tangente `aC au pointP est orthogonale `a la droite (M J).
- - - -
Soitsun param`etre normal (“une abscisse curviligne”) sur Γ. SoitR le rayon de courbure de Γ enM. Notons enfin (M;−→
t ,−→
n) le rep`ere de Frenet de Γ enM. Alors I=M+R−→ n et, en d´erivant cette ´egalit´e (grˆace aux formules de Frenet), on a
dI ds =−→
t +dR ds
−
→n +R· −
−
→t R
!
= dR ds
−
→n .
Remarque : l’arc Γ ´etant de classe C3, la fonction s 7→ R(s) dont l’expression utilise des d´eriv´ees d’ordre deux, est de classe C1.
Les points singuliers sur la d´evelopp´ee D (dI ds = −→
0 ) correspondent donc aux “sommets” de la courbe Γ (extremums de la courbure), on exclut d´esormais ces points. On constate alors que la tangente `a D au point I est la normale `a Γ au point M (propri´et´e classique : la d´evelopp´ee d’une courbe est l’enveloppe de ses normales). Orientons D(c’est au moins possible localement) de fa¸con que son vecteur tangent unitaire orient´e −→
τ au pointI soit
−
→n ; le rep`ere de Frenet deDau pointI est alors (I;−→ τ ,−→
ν) = (I;−→ n ,−−→
t).
Soitσune abscisse curviligne surD. On a alors dI dσ =−→
τ =−→
n, m´ezˆossi dI
dσ = ds dσ
dI ds = dR
ds ds dσ
−
→n = dR dσ
−
→n .
On en d´eduit la relation dR
dσ = 1 (ce qui traduit en fait que Γ est une d´eveloppante de D), ou encore dσ
ds = dR
ds (interpr´etation : en int´egrant cette ´egalit´e pour s∈[s1, s2], avec des notations ´evidentes, on voit que la longueur de l’arc I1I2 sur la d´evelopp´ee est ´egale
`
a |R2−R1|, c’est-`a-dire `a la variation du rayon de courbure de Γ entre les points M1 et M2, `a condition que la courbeΓ ne pr´esente pas de “sommet” entre les points M1 etM2, c’est-`a-dire que la fonctions7→R(s)soit monotone sur l’intervalle[s1, s2]).
On a ensuite d−→ n dσ = ds
dσ d−→
n ds =−
R dR
ds −1
−
→t puisque d−→ n ds =−
−
→t
R. Soit alors ρle rayon de courbure de la d´evelopp´eeD au pointI ; les formules de Frenet montrent que d−→
τ dσ =
−
→ν ρ, c’est-`a-dire d−→
n dσ =−
−
→t
ρ. Par comparaison avec la relation obtenue ci-dessus, on obtient une relation entre les courburesRet ρ:
ρ=R dR ds . Le pointJ est donc d´efini par −→
IJ =ρ−→
ν =−R dR ds
−
→t et
−−→M J =−−→ M I+−→
IJ =R −→
n −dR ds
−
→t
.
D’autre part, P =M+1 2 R−→
n, donc la tangente `aC au pointP est dirig´ee par le vecteur (s’il est non nul) :
dP ds =−→
t +1 2
dR ds
−
→n +1 2 R −
−
→t R
!
=1 2
−→ t +dR
ds
−
→n
.
Ce vecteur est donc effectivement non nul et l’arc s 7→ P(s) est r´egulier, et on v´erifie la nullit´e du produit scalaire −−→
M J·dP ds.
EXERCICE 3 :
1. Soit a > 0, soit (H) l’hyperbole ´equilat`ere d’´equation xy = a. Soit M un point de (H).
Calculer les coordonn´ees deK, centre de courbure de (H) enM. V´erifier la relation −−→
OK·−−→
OM = 2k−−→
OMk2. En d´eduire une construction g´eom´etrique du point K.
2.R´eciproque : d´eterminer toutes les courbes planes Γ dont le centre de courbure peut s’obtenir par cette construction g´eom´etrique.
- - - - 1. Param´etrons (H) par
x = t y = a
t
(t ∈ IR∗). Alors
x0 = 1 y0 = −a
t2 et
x00 = 0 y00 = 2a
t3 , d’o`u k−→
F0(t)k = x02 +y02 = t4+a2
t4 , Det −→ F0(t),−→
F00(t)
= x0y00−x00y0 = 2a
t3 et le rayon de courbure est
R= (x02+y02)
32
x0y00−x00y0 = (t4+a2)
32
2at3 . On d´etermine le rep`ere de Frenet :
−
→T t2
√t4+a2, −a
√t4+a2
; −→ N
a
√t4+a2, t2
√t4+a2
. On d´etermine le centre de courbureK parK=M +R−→
N :
xK = t + t4+a2
2t3 = 3t4+a2 2t3 yK = a
t + t4+a2
2at = t4+ 3a2 2at
.
On v´erifie imm´ediatement que −−→
OK·−−→
OM = 2k−−→
OMk2= 2t4+a2
t2 . Cela signifie que le point N, projet´e orthogonal de Ksur la droite (OM), v´erifie−−→
ON = 2−−→
OM. Pour construire le point K, on place d’abord N tel que −−→
ON = 2−−→
OM ; le point K est `a l’intersection de la normale `a (H) enM et de la perpendiculaire `a (OM) issue deN.
2. Supposons l’arc Γ de classe C2 bir´egulier, ce qui permettra de consid´erer l’angle α comme param`etre admissible ; enfin, on suppose naturellement que l’arc ne passe pas parO, ce qui permet d’utiliser le th´eor`eme de rel`evement pour param´etrer par l’angleθdes coordonn´ees polaires.
SoitM(x, y) un point de Γ, soit K(ξ, η) le centre de courbure de Γ en ce point. On veut que soit satisfaite la relation −−→
OK·−−→
OM = 2k−−→
OMk2, c’est-`a-dire(R): xξ+yη=x2+y2. Notons (M;−→
T ,−→
N) le rep`ere de Frenet de Γ enM, et soit l’angleα= (−→ i ,−→
T). DeK=M+R−→ N avecR= ds
dα et−→
T =−dx ds
−
→i +dy ds
−
→j, on d´eduit que les coordonn´ees du centre de courbure
sont donn´ees par
ξ = x−dy dα η = y+dx dα
. On a donc
(R) ⇐⇒ x
x− dy
dα
+y
y+dx dα
= 2(x2+y2)
⇐⇒ y dx dα−x dy
dα =x2+y2
⇐⇒ y2· d dα
x y
=x2+y2. Passons en coordonn´ees polaires :
(R) ⇐⇒ ρ2 sin2θ· d
dα(cotanθ) =ρ2 ⇐⇒ dθ
dα=−1 ⇐⇒ dα dθ =−1.
Posonsθ=α+V (notation classique ;V est une mesure de l’angle que fait le vecteur tangent
`
a Γ au pointM avec le rayon vecteur−−→
OM, on sait que tanV = ρ
ρ0 avec iciρ0= dρ
dθ). Alors
(R) ⇐⇒ dV
dθ = 2 ⇐⇒ V = 2θ+θ0
⇐⇒ ρ
ρ0 = tan(2θ+θ0) ⇐⇒ ρ0
ρ = cotan(2θ+θ0)
⇐⇒ ln
ρ ρ0
=−1
2 ln|sin(2θ+θ0)|
⇐⇒ ρ= ρ0
p|sin(2θ+θ0)| .
Les courbes solutions du probl`eme se d´eduisent de l’une d’entre elles par les similitudes de centre O. Il suffit donc de reconnaˆıtre la courbe Γ0 d’´equation polaire(E): ρ= 1
√ sin 2θ. Or,
(E) ⇐⇒ ρ2 sin 2θ= 1 ⇐⇒ (x2+y2) 2xy
x2+y2 = 1 ⇐⇒ 2xy= 1. Les courbes solutions sont donc les arcs d’hyperboles ´equilat`eres de centreO.
EXERCICE 4 :
Soit Γ un arc ferm´e simple de classeC2 bir´egulier, soitr >0. On suppose qu’en tout pointM de Γ, le rayon de courbure alg´ebriqueR v´erifieR≥r. Donner une minoration de la longueur de l’arc Γ. Dans quel cas la minoration obtenue est-elle une ´egalit´e ?
- - - -
Soit l la longueur de la courbe, on peut param´etrer Γ par une abscisse curviligne s d´ecrivant [0, l]. En notant α=α(s) l’angle (−→
i ,−→
t), o`u −→
t est le vecteur tangent unitaire orient´e et c(s) la courbure au pointM(s), on a 0< c(s)≤1
r et Z l
0
c(s) ds= Z l
0
dα
ds ds=α(l)−α(0)∈2πZ, donc
Z l 0
c(s) ds≥2π puisque la fonctions7→c(s) est strictement positive sur [0, l]. Mais on a aussi
Z l 0
c(s) ds≤ l
r, d’o`u l’in´egalit´e l≥2πr.
Si l= 2πr, alors n´ecessairement Z l
0
c(s) ds= 2π= l
r avecc(s)≥1
r sur l’intervalle [0, l], ce qui entraˆıne que R(s) =r : le rayon de courbure est constant. L’arc Γ est alors un cercle de rayonr ; en effet, le centre de courbureK de Γ au pointM(s) v´erifieK=M+r−→
n, donc (puisqueR(s) =r est constant) :
dK ds =dM
ds +rd−→ n ds =−→
t +r −
−
→t r
!
=−→ 0 :
le centre de courbureK est constant ; il est alors imm´ediat que le support de Γ est le cercle de centre Ket de rayonr.
EXERCICE 5 :
L’espace euclidien orient´e de dimension trois est rapport´e `a un rep`ere orthonormalR= (O;−→ i ,−→
j ,−→ k).
SoitT letoreobtenu par rotation autour de l’axeOzdu cercleCd’´equations
( y = 0 x2+z2−4x+ 3 = 0. 1.Ecrire une repr´´ esentation cart´esienne deT. En d´eduire une ´equation cart´esienne deT.
2.D´eterminer les plans tangents `a T passant par l’origine.
3. Montrer que l’intersection avec T de l’un quelconque de ces plans est une r´eunion de deux cercles.
- - - - 1.Le cercleCadmet pour ´equations
( y = 0
(x−2)2+z2 = 1, d’o`u le param´etrage
x = 2 + cosθ y = 0 z = sinθ
. Par ailleurs, la rotation rt d’axe Oz et d’angle t (t ∈ IR) admet pour expressions analy- tiques
x0 = xcost−ysint y0 = xsint+ycost z0 = z
. Le toreT est la r´eunion des images du cercle C par toutes
les rotationsrt, d’o`u un param´etrage
x = (2 + cosθ) cost y = (2 + cosθ) sint z = sinθ
.
Pour obtenir une ´equation cart´esienne deT, on ´elimine les param`etrestet θen ´ecrivant que x2+y2+z2= (2 + cosθ)2+ sin2θ= 5 + 4 cosθ ,
ce qui ´eliminet, donc cosθ=1
4(x2+y2+z2−5), puis
(E) 1
16(x2+y2+z2−5)2+z2= 1.
Nous avons ainsi prouv´e que le toreT est inclus dans la surfaceSd’´equation cart´esienne(E).
R´eciproquement, si les coordonn´ees (x, y, z) d’un pointM v´erifie(E), il existe un r´eelθtel que
1
4(x2+y2+z2−5) = cosθ z = sinθ
, d’o`u l’on tire x2+y2= 5−sin2θ+4 cosθ= (2+cosθ)2,
puis l’existence d’un r´eelttel que
(x = (2 + cosθ) cost
y = (2 + cosθ) sint etSest confondue avecT. Donc (E)est bien une ´equation cart´esienne du toreT.
2.SoitM le point deT de param`etres (t, θ). Un vecteur normal `aT enM est
−
→N = ∂M
∂t ∧∂M
∂θ =
(2 + cosθ) cosθ cost (2 + cosθ) cosθ sint
(2 + cosθ) sinθ
, colin´eaire `a
cosθ cost cosθ sint
sinθ
.
On v´erifie en effet que tout point est r´egulier, c’est-`a-dire que ce dernier vecteur n’est jamais nul. Une ´equation du plan tangent `aT au pointM est alors−→
N·−−→
M X = 0 (o`uXest le point courant sur la tangente), soit
x−(2 + cosθ) cost
cosθcost+ y−(2 + cosθ) sint
cosθsint+ (z−sinθ) sinθ= 0. Ce plan passe par l’origine si et seulement si
−(2 + cosθ) cosθcos2t−(2 + cosθ) cosθsin2t−sin2θ= 0, soit cosθ=−1
2.
Les points du toreT en lesquels le plan tangent passe par l’origine sont donc situ´es sur deux cercles C1et C2 `a l’intersection du toreT avec les plans horizontaux de cotes
√3 2 et −
√3 2
respectivement, et qui ont pour ´equations
x = 3
2 cost y = 3
2 sint z = ±
√ 3 2
.
Les plans tangents `a T aux points du cercleC1 ont pour ´equations Pt : xcost+y sint−z√
3 = 0.
On peut remarquer que les plans tangents `aT aux points deC2 sont les mˆemes puisque le plan Pt ci-dessus est tangent `a T au point de param`etres
t,2π
3
sur C1, mais aussi au point de param`etres
t+π,−2π 3
sur C2.
3.Le planPtse d´eduit du planP0 par la rotation d’axeOz et d’anglet, il suffit donc d’´etudier l’intersection du plan P0 : x−z√
3 = 0 avec le tore.
Pour cela, choisissons un rep`ere orthonormalR0 = (O;−→ I ,−→
J ,−→
K) de sorte que les deux premiers vecteurs−→
I et −→
J dirigentP0 ; on peut choisir
−
→I =−→ j ; −→
J =
√3 2
−
→i +1 2
−
→k ; −→ K= 1
2
−
→i −
√3 2
−
→k .
La matrice de passage est P =
0
√3 2
1 2
1 0 0
0 1
2 −
√3 2
, d’o`u les formules de changement de
coordonn´ees
x =
√ 3 2 Y +1
2 Z y = X
z = 1 2Y −
√3 2 Z
. La courbe intersection du toreT avec le planP0admet
alors pour ´equations dans le rep`ereR0 :
Z = 0 1
16 3
4Y2+X2+1
4Y2−52
+1
4Y2 = 1, soit, toujours avec Z= 0,
(X2+Y2−5)2−16 + 4Y2= 0 ; (X2+Y2)2−10X2−6Y2+ 9 = 0 ;
(X2+Y2−3)2−4X2= 0 ;
(X2+Y2−2X−3)(X2+Y2+ 2X−3) = 0 :
on reconnaˆıt bien, dans le planP0, une r´eunion de deux cercles, chacun de rayon 2.
Ces cercles sont les cercles de Villarceaudu tore T.
