PanaMaths [ 1 - 3 ] Mars 2012
Formulaire PanaMaths
Propriétés métriques des arcs paramétrés dans le plan
Dans ce document, le plan est associé au produit scalaire canonique de \2 et à la norme correspondante (norme euclidienne). On le rapporte alors à un repère orthonormal direct
(O ; ,i jG G).
Dans ce plan, on considère un arc paramétré Γ =(I, f) régulier (on rappelle que la régularité de l’arc Γ équivaut à : ∀ ∈t I, f '( )t ≠0. Ainsi, en tout point M= f t( ) de Γ, le vecteur
( )( )
' ' f t
f t est un vecteur unitaire de la tangente à Γ).
Abscisse curviligne
Définition
Il s’agit d’une primitive sur I de t6 f '( )t . ( )
ds '
f t dt =
Note : l’abscisse curviligne est un changement de paramétrage admissible de Γ. Il est dit
« normal » car pour tout s, le vecteur dOM ds JJJJG
est unitaire.
Longueur d’un arc
Soit M1 et M2 deux points de l’arc Γ de paramètres respectifs t1 et t2 et d’abscisse curviligne correspondante s1=s t( )1 et s2 =s t( )2 . La longueur algébrique L(M Mq1 2) de la
partie de l’arc Γ située entre les points M et 1 M est donnée par : 2
(M Mq1 2) 2 1 ( ) ( )2 1 ss12 t1t2 '( )
L = − =s s s t −s t =∫ ds=∫ f t dt
PanaM
Repèr
On supp exemple
Pour tou le vecte
En posa
On note la base
Remarq
Maths
re de Fr
pose dans ce e l’abscisse
ut point M d eur NG
comm
L
ant : ϕ=(iG,
e ainsi que l
( )i jG G, à la b
que : de cos
enet
ette partie q curviligne)
d’abscisse c me l’image
Le repère de
)
, TG
(voir la
la matrice ⎛
⎜⎝ base ( )T, NG G
dx ϕ= ds et s
que l’arc Γ ).
curviligne s de TG
par la
e Frenet en
a figure ci-d T cos
sin
⎛⎜
⎝ G
cos sin
sin cos
ϕ ϕ
⎛ −
⎝).
sin dy
ϕ = ds,
tanϕ =
[ 2 - 3 ]
est représen
(M=M(s
a rotation ve
( )
M s est l
dessous), on ϕ
ϕ
⎞⎟
⎠ et N c
⎛−
⎜⎝ G
n s
ϕ ϕ
⎞⎟
⎠ n’est r
on tire :
dy ds dy dx dx ds
= =
nté par un p
)), on défin ectorielle d’
e repère (M
n a, dans le r sin
cos ϕ ϕ
− ⎞
⎟⎠
rien d’autre
' ' dy dt y dx x dt
=
paramétrage
nit le vecteu angle
2 +π .
( ) )
M s ; T, NG G
repère (O ;
e que la matr
Mar
e normal s (p
ur : OM
T d
= ds G JJJ
.
). )
, i jG G
:
rice de pass
rs 2012
par
M s JJJG
puis
sage de
PanaMaths [ 3 - 3 ] Mars 2012
Courbure
Dans cette partie on suppose que l’arc Γ est représenté par un paramétrage normal s (par exemple l’abscisse curviligne) et qu’il est au moins de classe C 2.
Définitions
En notant c=c s( ) la courbure, on a : c d
ds
= ϕ
On en tire :
T N
N et T
d d
c c
ds = ds = −
G G
G G
Si le point M( )s est birégulier (⇔TG
et dT ds
G
indépendants ⇔ ≠c 0) alors on peut définir le rayon de courbure R( )s en M( )s par :
( ) ( )1
R s
=c s
On appelle, en tout point M( )s birégulier, « cercle osculateur à Γ en M( )s » le cercle de centre Ω et de rayon R( )s où le point Ω est défini par :
MΩ =RN JJJJG G
Calcul en coordonnées cartésiennes
En notant M '( )t dOM( )t
= dt JJJJG
et M ''( )t d2OM2 ( )t
= dt JJJJG
:
( ) ( )
( )
( )3
det M ' , M "
M '
t t
c
t
=
Calcul en coordonnés polaires L’arc est ici défini par : r=r( )θ .
( )
2 2
3
2 2 2
2 ' 2 "
'
r r r r
c
r r
+ −
=
+
