les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.

(1)

MPSI B 2010-2011 DS 4 (commun 1) 19 octobre 2019

Pb I. Coniques homofocales

Dans ce problème

¹

les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.

On désigne par P un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R . Les coordonnées et les axes des points du plan sont relatifs à ce repère.

Soient a et b des réels strictement positifs. On dénit une hyperbole H

a,b

et une ellipse E

a,b

par leurs équations réduites : H

_a,b

: x ²

a ² − y ²

b ² = 1 E

_a,b

: x ² a ² + y ²

b ² = 1 pour a ≥ b Soient F et F

⁰

les points respectivement de coordonnées (1, 0) et (−1, 0) . On dénit les fonctions Cos et Sin, de C dans C par :

∀z ∈ C , Cos z = 1

2 e

^iz

+ e

^−iz

Sin z = 1

2i e

^iz

− e

^−iz

. 1. Soit Z = {z ∈ C | Cos z = 0} et I un intervalle ouvert.

Soit γ 1 et γ 2 deux fonctions de classe C ¹ dénies dans I et à valeurs dans C \ Z . On suppose que :

∀t ∈ I, γ ₁

⁰

(t) 6= 0 et γ

⁰

₂ (t) 6= 0 On dénit des arcs paramétrés g ₁ , g ₂ , f ₁ , f ₂ par :

∀t ∈ I,



 

 

 

 

g 1 (t) est le point d'axe γ 1 (t) g ₂ (t) est le point d'axe γ ₂ (t) f 1 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 1 )(t) f 2 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 2 )(t) a. Déterminer Z .

b. On admet que les fonctions Sin ◦ γ ₁ et Cos ◦ γ ₂ sont C ¹ avec :

∀t ∈ I, ( Sin ◦ γ 1 )

⁰

(t) = Cos (γ 1 (t))γ ₁

⁰

(t), ( Sin ◦ γ 2 )

⁰

(t) = Cos (γ 2 (t))γ ₂

⁰

(t) Montrer que les arcs paramétrés f 1 et f 2 sont réguliers.

c. On suppose que γ ₁ (t ₀ ) = γ ₂ (t ₀ ) pour un certain t ₀ ∈ I . Montrer l'égalité des angles orientés

( − → \ f 1

0

(t 0 ), − →

f 2

0

(t 0 )) = ( − → g 1

0

(t \ 0 ), − → g 2

0

(t 0 )) [2π]

(On dit que l'application Sin est conforme.)

1

d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)

2. À quelle condition sur a et b l'hyperbole H

a,b

(respectivement l'ellipse E

a,b

) a-t-elle pour foyers F et F

⁰

?

3. Soit y 0 > 0 . Montrer que l'image par Sin d'une droite d'équation y = y 0 est une ellipse de foyers F et F

⁰

.

4. Soit x 0 ∈ 0,

^π

₂

. Montrer que l'image par Sin de l'ensemble d'équation x ² = x ² ₀ est une hyperbole de foyers F et F

⁰

.

5. On dit que deux courbes Γ et Γ

⁰

sont orthogonales si en tout point M ∈ Γ ∩ Γ

⁰

, les tangentes à Γ et Γ

⁰

sont perpendiculaires.

Montrer qu'une hyperbole et une ellipse de foyers F et F

⁰

sont orthogonales.

Fig. 1: Hyperboles et ellipses homofocales

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1004E

(2)

MPSI B 2010-2011 DS 4 (commun 1) 19 octobre 2019

Fig. 2: Des tangentes aux graphes de solutions

Pb II. Une caractérisation des équations diérentielles li- néaires

On rappelle que si f est une fonction dénie dans un intervalle de R et à valeurs réelles, l'équation de la tangente en un point (x 0 , f (x 0 )) à la courbe représentative de f s'écrit :

x − x ₀ 1

y − f (x ₀ ) f

⁰

(x ₀ ) = 0 On considère l'équation dierentielle

²

dans I =]0, +∞[

(1 + x ² )y

⁰

(x) + 2xy(x) = 1

x (1)

2

d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)

1. Soit f une solution de (1), on pose λ = f (1) .

a. Former l'équation de la tangente en (1, λ) à la courbe de f .

b. Montrer que lorsque λ varie, ces tangentes sont toutes concourantes en un point à déterminer.

2. Résoudre l'équation (1) sur I . Déterminer l'unique solution f

_λ

telle que f

_λ

(1) = λ . 3. Soit I un intervalle de R et a , b , c trois fonctions continues dénies dans I . On suppose

que a ne prend jamais la valeur 0. On considère l'équation

ay

⁰

+ by = c (2)

Soit x 0 ∈ I xé, pour tout λ réel, on note f

λ

la solution de (2) qui prend en x 0 la valeur λ . On note D

λ

la tangente en (x 0 , λ) à la courbe de f

λ

. Montrer que les droites D

λ

sont concourantes ou parallèles. Préciser dans quel cas elles sont parallèles. Lorsqu'elles sont concourantes préciser leur point commun.

4. Soient J un intervalle de R et F une fonction de J × R dan sR. Notons (E) l'équation diérentielle

y

⁰

= F (x, y) (E) On suppose que F est telle que :

pour tout (x 0 , y 0 ) ∈ J × R, il existe une solution de (E) satisfaisant la condition de Cauchy y(x 0 ) = y 0 ;

les tangentes au point d'abscisse x 0 aux solutions de (E) sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes.

a. Pour x 0 ∈ J et (y 0 , y 1 ) ∈ R ² avec y 0 6= y 1 , montrer que F (x 0 , y 0 ) − F (x 0 , y 1 )

y 0 − y 1

est une quantité qui ne dépend pas du couple (y 0 , y 1 ) . On la notera α(x 0 ) dans la suite .

b. En déduire que F (x 0 , y 0 ) − α(x 0 )y 0 ne dépend pas de y 0 .

c. Conclure que (E) est linéaire c'est-à-dire que F est de la forme F (x, y) = α(x) · y + β(x) , pour (x, y) ∈ J × R avec α et β deux fonctions.

2

(3)

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Pb III. Théorème de Mantel

Dans tout le problème

³

, E désigne un ensemble ni. lorsque Ω est un ensemble ni, on notera ] Ω le nombre d'éléments de Ω .

On appelle graphe orienté une partie de E × E ne contenant aucun élément de la forme (s, s) pour s ∈ E .

Un graphe orienté est conventionnellement représenté par un dessin avec des cercles et des èches. Par exemple, le graphe orienté A représenté par la gure 3 est déni par :

Fig. 3: Exemple de graphe orienté A .

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {(1, 3), (5, 4), (6, 1), (4, 5)}

On introduit diverses dénitions.

Une arête est un élément d'un graphe orienté : c'est à dire un couple d'éléments de E . Soit s ∈ E .

On note V + (s) l'ensemble des s

⁰

∈ E tels que (s, s

⁰

) ∈ A et d + (s) = ] V + (s) le nombre d'éléments de V + (s) .

On dit que s est un sommet initial lorsque V + (s) est non vide. On note S + l'ensemble des sommets initiaux.

On note V

−

(s) l'ensemble des s

⁰

∈ E tels que (s

⁰

, s) ∈ A et d

−

(s) = ] V

−

(s) le nombre d'éléments de V

₋

(s) .

On dit que s est un sommet nal lorsque V

₋

(s) est non vide. On note S

−

l'ensemble des sommets naux.

On note S = S

₋

∪ S ₊ . Un élément de S est appelé un sommet.

3

d'après Modern Graph Theory Bela Bollobas Springer

Pour toute arête a ∈ A , on note T (a) = d

−

(s) + d + (s

⁰

) lorsque a = (s, s

⁰

) . On dira qu'un graphe orienté A est conservatif si et seulement si

∀s ∈ E : d

−

(s) = d + (s) Question préliminaire.

Soit n un entier naturel non nul et a 1 , · · · , a

n

, b 1 , · · · , b

n

des nombres réels quelconques.

Montrer que :

n

X

i=1

a

i

b

i

≤ v u u t

n

X

i=1

a ²

_i

v u u t

n

X

i=1

b ²

_i

Partie I. Graphes orientés.

1. Dans cette question seulement, le graphe orienté A est celui de l'exemple.

a. En présentant les résultats dans un tableau, préciser V + (s) , d + (s) , V

−

(s) , d

−

(s) pour chaque s ∈ E .

b. Préciser les ensembles S

₋

, S + , S . c. Le graphe est-il conservatif ? 2. Soit A un graphe orienté.

a. Préciser les ensembles [

s∈S+

{(s, s

⁰

), s

⁰

∈ V + (s)} [

s∈S−

{(s

⁰

, s), s

⁰

∈ V

₋

(s)}

b. Montrer que

] A = X

s∈S₊

d + (s) = X

s∈S−

d

₋

(s) 3. Soit A un graphe orienté. Montrer que

X

(s,s

⁰

)∈A

d ₊ (s

⁰

) = X

s⁰∈S−

d

₋

(s

⁰

)d ₊ (s

⁰

) X

(s,s

⁰

)∈A

d

₋

(s) = X

s∈S+

d

₋

(s)d ₊ (s) 4. On dit qu'un graphe orienté A contient un triangle si et seulement si

∃(s 1 , s 2 , s 3 ) ∈ S ³ tel que :



 

 

(s ₁ , s ₂ ) ∈ A (s 2 , s 3 ) ∈ A (s 3 , s 1 ) ∈ A

3

(4)

MPSI B 2010-2011 DS 4 (commun 1) 19 octobre 2019

a. Montrer que A contient un triangle si et seulement si

∃(s, s

⁰

) ∈ A tel que V ₊ (s

⁰

) ∩ V

₋

(s) 6= ∅

b. Montrer que si A ne contient pas de triangle alors T (a) ≤ ] S pour toute arête a . 5. Montrer que, si A est un graphe orienté conservatif,

√ 2 ] A ≤

s ] S X

a∈A

T (a) 6. Théorème de Mantel (1907).

Soit A un graphe orienté conservatif. Montrer que si ] A > 1

2 ( ] S) ² alors A contient un triangle.

Partie II. Graphes non orientés.

On dénit un graphe non orienté comme étant un ensemble de paires (parties à deux éléments) d'un ensemble E .

1. Comment peut-on dénir simplement un graphe orienté A à partir d'un graphe non orienté O ? Que peut-on dire des ensembles de sommets ? Quelle propriété A possède- t-il automatiquement ? Former une relation entre les nombres d'arêtes.

2. Formulez et démontrez un résultat analogue au théorème de Mantel pour un graphe non orienté.

Fig. 4: Graphe bipartite complet.

3. Lorsque l'ensemble E est une union disjointe de deux ensembles E 1 (contenant n 1

éléments) et E 2 (contenant n 2 éléments), on dénit un graphe non orienté B (appelé graphe bipartite complet) par :

chaque élément de E 1 est relié à chaque élément de E 2 . il n'existe aucune liaison entre deux éléments de E 1 . il n'existe aucune liaison entre deux éléments de E ₂ . Calculer ] B .

les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.

Full text

MPSI B 2010-2011 DS 4 (commun 1) 19 octobre 2019

Pb I. Coniques homofocales

Dans ce problème

les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.

On désigne par P un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R . Les coordonnées et les axes des points du plan sont relatifs à ce repère.

Soient a et b des réels strictement positifs. On dénit une hyperbole H

et une ellipse E

par leurs équations réduites : H

: x 2

a 2 − y 2

b 2 = 1 E

: x 2 a 2 + y 2

b 2 = 1 pour a ≥ b Soient F et F

les points respectivement de coordonnées (1, 0) et (−1, 0) . On dénit les fonctions Cos et Sin, de C dans C par :

∀z ∈ C , Cos z = 1

2 e

+ e

Sin z = 1

2i e

− e

. 1. Soit Z = {z ∈ C | Cos z = 0} et I un intervalle ouvert.

Soit γ 1 et γ 2 deux fonctions de classe C 1 dénies dans I et à valeurs dans C \ Z . On suppose que :

∀t ∈ I, γ 1

(t) 6= 0 et γ

2 (t) 6= 0 On dénit des arcs paramétrés g 1 , g 2 , f 1 , f 2 par :

∀t ∈ I,



 

 

 

 

g 1 (t) est le point d'axe γ 1 (t) g 2 (t) est le point d'axe γ 2 (t) f 1 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 1 )(t) f 2 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 2 )(t) a. Déterminer Z .

b. On admet que les fonctions Sin ◦ γ 1 et Cos ◦ γ 2 sont C 1 avec :

∀t ∈ I, ( Sin ◦ γ 1 )

(t) = Cos (γ 1 (t))γ 1

(t), ( Sin ◦ γ 2 )

(t) = Cos (γ 2 (t))γ 2

(t) Montrer que les arcs paramétrés f 1 et f 2 sont réguliers.

c. On suppose que γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) pour un certain t 0 ∈ I . Montrer l'égalité des angles orientés

( − → \ f 1

(t 0 ), − →

f 2

(t 0 )) = ( − → g 1

(t \ 0 ), − → g 2

(t 0 )) [2π]

(On dit que l'application Sin est conforme.)

d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)

2. À quelle condition sur a et b l'hyperbole H

(respectivement l'ellipse E

) a-t-elle pour foyers F et F

?

3. Soit y 0 > 0 . Montrer que l'image par Sin d'une droite d'équation y = y 0 est une ellipse de foyers F et F

.

4. Soit x 0 ∈ 0,

2

. Montrer que l'image par Sin de l'ensemble d'équation x 2 = x 2 0 est une hyperbole de foyers F et F

.

5. On dit que deux courbes Γ et Γ

sont orthogonales si en tout point M ∈ Γ ∩ Γ

, les tangentes à Γ et Γ

sont perpendiculaires.

Montrer qu'une hyperbole et une ellipse de foyers F et F

sont orthogonales.

Fig. 1: Hyperboles et ellipses homofocales

1

MPSI B 2010-2011 DS 4 (commun 1) 19 octobre 2019

Fig. 2: Des tangentes aux graphes de solutions

Pb II. Une caractérisation des équations diérentielles li- néaires

On rappelle que si f est une fonction dénie dans un intervalle de R et à valeurs réelles, l'équation de la tangente en un point (x 0 , f (x 0 )) à la courbe représentative de f s'écrit :

x − x 0 1

y − f (x 0 ) f

(x 0 ) = 0 On considère l'équation dierentielle

dans I =]0, +∞[

(1 + x 2 )y

(x) + 2xy(x) = 1

x (1)

d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)

1. Soit f une solution de (1), on pose λ = f (1) .

: x ²

a ² − y ²

b ² = 1 E

: x ² a ² + y ²

b ² = 1 pour a ≥ b Soient F et F

Soit γ 1 et γ 2 deux fonctions de classe C ¹ dénies dans I et à valeurs dans C \ Z . On suppose que :

∀t ∈ I, γ ₁

₂ (t) 6= 0 On dénit des arcs paramétrés g ₁ , g ₂ , f ₁ , f ₂ par :

g 1 (t) est le point d'axe γ 1 (t) g ₂ (t) est le point d'axe γ ₂ (t) f 1 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 1 )(t) f 2 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 2 )(t) a. Déterminer Z .

b. On admet que les fonctions Sin ◦ γ ₁ et Cos ◦ γ ₂ sont C ¹ avec :

(t) = Cos (γ 1 (t))γ ₁

(t) = Cos (γ 2 (t))γ ₂

c. On suppose que γ ₁ (t ₀ ) = γ ₂ (t ₀ ) pour un certain t ₀ ∈ I . Montrer l'égalité des angles orientés

₂

. Montrer que l'image par Sin de l'ensemble d'équation x ² = x ² ₀ est une hyperbole de foyers F et F

x − x ₀ 1

y − f (x ₀ ) f

(x ₀ ) = 0 On considère l'équation dierentielle

(1 + x ² )y

a. Pour x 0 ∈ J et (y 0 , y 1 ) ∈ R ² avec y 0 6= y 1 , montrer que F (x 0 , y 0 ) − F (x 0 , y 1 )

∪ S ₊ . Un élément de S est appelé un sommet.

a ²