MPSI B 2010-2011 DS 4 (commun 1) 19 octobre 2019
Pb I. Coniques homofocales
Dans ce problème
1les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.
On désigne par P un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R . Les coordonnées et les axes des points du plan sont relatifs à ce repère.
Soient a et b des réels strictement positifs. On dénit une hyperbole H
a,bet une ellipse E
a,bpar leurs équations réduites : H
a,b: x 2
a 2 − y 2
b 2 = 1 E
a,b: x 2 a 2 + y 2
b 2 = 1 pour a ≥ b Soient F et F
0les points respectivement de coordonnées (1, 0) et (−1, 0) . On dénit les fonctions Cos et Sin, de C dans C par :
∀z ∈ C , Cos z = 1
2 e
iz+ e
−izSin z = 1
2i e
iz− e
−iz. 1. Soit Z = {z ∈ C | Cos z = 0} et I un intervalle ouvert.
Soit γ 1 et γ 2 deux fonctions de classe C 1 dénies dans I et à valeurs dans C \ Z . On suppose que :
∀t ∈ I, γ 1
0(t) 6= 0 et γ
02 (t) 6= 0 On dénit des arcs paramétrés g 1 , g 2 , f 1 , f 2 par :
∀t ∈ I,
g 1 (t) est le point d'axe γ 1 (t) g 2 (t) est le point d'axe γ 2 (t) f 1 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 1 )(t) f 2 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 2 )(t) a. Déterminer Z .
b. On admet que les fonctions Sin ◦ γ 1 et Cos ◦ γ 2 sont C 1 avec :
∀t ∈ I, ( Sin ◦ γ 1 )
0(t) = Cos (γ 1 (t))γ 1
0(t), ( Sin ◦ γ 2 )
0(t) = Cos (γ 2 (t))γ 2
0(t) Montrer que les arcs paramétrés f 1 et f 2 sont réguliers.
c. On suppose que γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) pour un certain t 0 ∈ I . Montrer l'égalité des angles orientés
( − → \ f 1
0(t 0 ), − →
f 2
0(t 0 )) = ( − → g 1
0(t \ 0 ), − → g 2
0(t 0 )) [2π]
(On dit que l'application Sin est conforme.)
1
d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)
2. À quelle condition sur a et b l'hyperbole H
a,b(respectivement l'ellipse E
a,b) a-t-elle pour foyers F et F
0?
3. Soit y 0 > 0 . Montrer que l'image par Sin d'une droite d'équation y = y 0 est une ellipse de foyers F et F
0.
4. Soit x 0 ∈ 0,
π2
. Montrer que l'image par Sin de l'ensemble d'équation x 2 = x 2 0 est une hyperbole de foyers F et F
0.
5. On dit que deux courbes Γ et Γ
0sont orthogonales si en tout point M ∈ Γ ∩ Γ
0, les tangentes à Γ et Γ
0sont perpendiculaires.
Montrer qu'une hyperbole et une ellipse de foyers F et F
0sont orthogonales.
Fig. 1: Hyperboles et ellipses homofocales
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Fig. 2: Des tangentes aux graphes de solutions
Pb II. Une caractérisation des équations diérentielles li- néaires
On rappelle que si f est une fonction dénie dans un intervalle de R et à valeurs réelles, l'équation de la tangente en un point (x 0 , f (x 0 )) à la courbe représentative de f s'écrit :
x − x 0 1
y − f (x 0 ) f
0(x 0 ) = 0 On considère l'équation dierentielle
2dans I =]0, +∞[
(1 + x 2 )y
0(x) + 2xy(x) = 1
x (1)
2
d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)
1. Soit f une solution de (1), on pose λ = f (1) .
a. Former l'équation de la tangente en (1, λ) à la courbe de f .
b. Montrer que lorsque λ varie, ces tangentes sont toutes concourantes en un point à déterminer.
2. Résoudre l'équation (1) sur I . Déterminer l'unique solution f
λtelle que f
λ(1) = λ . 3. Soit I un intervalle de R et a , b , c trois fonctions continues dénies dans I . On suppose
que a ne prend jamais la valeur 0. On considère l'équation
ay
0+ by = c (2)
Soit x 0 ∈ I xé, pour tout λ réel, on note f
λla solution de (2) qui prend en x 0 la valeur λ . On note D
λla tangente en (x 0 , λ) à la courbe de f
λ. Montrer que les droites D
λsont concourantes ou parallèles. Préciser dans quel cas elles sont parallèles. Lorsqu'elles sont concourantes préciser leur point commun.
4. Soient J un intervalle de R et F une fonction de J × R dan sR. Notons (E) l'équation diérentielle
y
0= F (x, y) (E) On suppose que F est telle que :
pour tout (x 0 , y 0 ) ∈ J × R, il existe une solution de (E) satisfaisant la condition de Cauchy y(x 0 ) = y 0 ;
les tangentes au point d'abscisse x 0 aux solutions de (E) sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes.
a. Pour x 0 ∈ J et (y 0 , y 1 ) ∈ R 2 avec y 0 6= y 1 , montrer que F (x 0 , y 0 ) − F (x 0 , y 1 )
y 0 − y 1
est une quantité qui ne dépend pas du couple (y 0 , y 1 ) . On la notera α(x 0 ) dans la suite .
b. En déduire que F (x 0 , y 0 ) − α(x 0 )y 0 ne dépend pas de y 0 .
c. Conclure que (E) est linéaire c'est-à-dire que F est de la forme F (x, y) = α(x) · y + β(x) , pour (x, y) ∈ J × R avec α et β deux fonctions.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Pb III. Théorème de Mantel
Dans tout le problème
3, E désigne un ensemble ni. lorsque Ω est un ensemble ni, on notera ] Ω le nombre d'éléments de Ω .
On appelle graphe orienté une partie de E × E ne contenant aucun élément de la forme (s, s) pour s ∈ E .
Un graphe orienté est conventionnellement représenté par un dessin avec des cercles et des èches. Par exemple, le graphe orienté A représenté par la gure 3 est déni par :
Fig. 3: Exemple de graphe orienté A .
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {(1, 3), (5, 4), (6, 1), (4, 5)}
On introduit diverses dénitions.
Une arête est un élément d'un graphe orienté : c'est à dire un couple d'éléments de E . Soit s ∈ E .
On note V + (s) l'ensemble des s
0∈ E tels que (s, s
0) ∈ A et d + (s) = ] V + (s) le nombre d'éléments de V + (s) .
On dit que s est un sommet initial lorsque V + (s) est non vide. On note S + l'ensemble des sommets initiaux.
On note V
−(s) l'ensemble des s
0∈ E tels que (s
0, s) ∈ A et d
−(s) = ] V
−(s) le nombre d'éléments de V
−(s) .
On dit que s est un sommet nal lorsque V
−(s) est non vide. On note S
−l'ensemble des sommets naux.
On note S = S
−∪ S + . Un élément de S est appelé un sommet.
3
d'après Modern Graph Theory Bela Bollobas Springer
Pour toute arête a ∈ A , on note T (a) = d
−(s) + d + (s
0) lorsque a = (s, s
0) . On dira qu'un graphe orienté A est conservatif si et seulement si
∀s ∈ E : d
−(s) = d + (s) Question préliminaire.
Soit n un entier naturel non nul et a 1 , · · · , a
n, b 1 , · · · , b
ndes nombres réels quelconques.
Montrer que :
n
X
i=1
a
ib
i≤ v u u t
n
X
i=1
a 2
iv u u t
n
X
i=1
b 2
iPartie I. Graphes orientés.
1. Dans cette question seulement, le graphe orienté A est celui de l'exemple.
a. En présentant les résultats dans un tableau, préciser V + (s) , d + (s) , V
−(s) , d
−(s) pour chaque s ∈ E .
b. Préciser les ensembles S
−, S + , S . c. Le graphe est-il conservatif ? 2. Soit A un graphe orienté.
a. Préciser les ensembles [
s∈S+
{(s, s
0), s
0∈ V + (s)} [
s∈S−
{(s
0, s), s
0∈ V
−(s)}
b. Montrer que
] A = X
s∈S+
d + (s) = X
s∈S−
d
−(s) 3. Soit A un graphe orienté. Montrer que
X
(s,s
0)∈A
d + (s
0) = X
s0∈S−
d
−(s
0)d + (s
0) X
(s,s
0)∈A
d
−(s) = X
s∈S+
d
−(s)d + (s) 4. On dit qu'un graphe orienté A contient un triangle si et seulement si
∃(s 1 , s 2 , s 3 ) ∈ S 3 tel que :
(s 1 , s 2 ) ∈ A (s 2 , s 3 ) ∈ A (s 3 , s 1 ) ∈ A
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a. Montrer que A contient un triangle si et seulement si
∃(s, s
0) ∈ A tel que V + (s
0) ∩ V
−(s) 6= ∅
b. Montrer que si A ne contient pas de triangle alors T (a) ≤ ] S pour toute arête a . 5. Montrer que, si A est un graphe orienté conservatif,
√ 2 ] A ≤
s ] S X
a∈A
T (a) 6. Théorème de Mantel (1907).
Soit A un graphe orienté conservatif. Montrer que si ] A > 1
2 ( ] S) 2 alors A contient un triangle.
Partie II. Graphes non orientés.
On dénit un graphe non orienté comme étant un ensemble de paires (parties à deux éléments) d'un ensemble E .
1. Comment peut-on dénir simplement un graphe orienté A à partir d'un graphe non orienté O ? Que peut-on dire des ensembles de sommets ? Quelle propriété A possède- t-il automatiquement ? Former une relation entre les nombres d'arêtes.
2. Formulez et démontrez un résultat analogue au théorème de Mantel pour un graphe non orienté.
Fig. 4: Graphe bipartite complet.
3. Lorsque l'ensemble E est une union disjointe de deux ensembles E 1 (contenant n 1
éléments) et E 2 (contenant n 2 éléments), on dénit un graphe non orienté B (appelé graphe bipartite complet) par :
chaque élément de E 1 est relié à chaque élément de E 2 . il n'existe aucune liaison entre deux éléments de E 1 . il n'existe aucune liaison entre deux éléments de E 2 . Calculer ] B .
4. Soit n un entier naturel non nul quelconque.
Montrer qu'il existe un graphe non orienté tel que : le nombre de sommets est n
il ne contient pas de triangle
le nombre d'arêtes est la partie entière de
n4
2.
On pourra séparer les cas pairs et impairs pour le nombre de sommets.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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