Partie I. Graphes orientés.

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MPSI B 19 octobre 2019

Énoncé

Dans tout le problème¹,E désigne un ensemble ni. lorsqueΩest un ensemble ni, on notera]Ωle nombre d'éléments deΩ.

On appelle graphe orienté une partie deE × E ne contenant aucun élément de la forme (s, s)pour s∈ E.

Un graphe orienté est conventionnellement représenté par un dessin avec des cercles et des èches. Par exemple, le graphe orientéAreprésenté par la gure1est déni par :

Fig. 1: Exemple de graphe orientéA.

E={1,2,3,4,5,6} A={(1,3),(5,4),(6,1),(4,5)}

On introduit diverses dénitions.

Une arête est un élément d'un graphe orienté : c'est à dire un couple d'éléments deE. Soits∈ E.

On noteV₊(s)l'ensemble dess⁰ ∈ Etels que(s, s⁰)∈ Aetd₊(s) =] V₊(s)le nombre d'éléments deV₊(s).

On dit quesest un sommet initial lorsqueV₊(s)est non vide. On noteS₊l'ensemble des sommets initiaux.

On noteV₋(s)l'ensemble dess⁰ ∈ Etels que(s⁰, s)∈ Aetd₋(s) =] V₋(s)le nombre d'éléments deV₋(s).

On dit quesest un sommet nal lorsqueV₋(s)est non vide. On noteS₋l'ensemble des sommets naux.

1d'aprèsModern Graph TheoryBela Bollobas Springer

On noteS=S−∪ S+. Un élément deS est appelé un sommet.

Pour toute arêtea∈ A, on noteT(a) =d−(s) +d+(s⁰)lorsquea= (s, s⁰). On dira qu'un graphe orientéAest conservatif si et seulement si

∀s∈ E:d₋(s) =d+(s) Question préliminaire.

Soit n un entier naturel non nul et a1,· · · , an, b1,· · ·, bn des nombres réels quelconques.

Montrer que :

n

X

i=1

a_ib_i

≤ v u u t

n

X

i=1

a²_i v u u t

n

X

i=1

b²_i

Partie I. Graphes orientés.

1. Dans cette question seulement, le graphe orientéAest celui de l'exemple.

a. En présentant les résultats dans un tableau, préciserV+(s), d+(s),V₋(s),d₋(s) pour chaques∈ E.

b. Préciser les ensemblesS−,S+,S. c. Le graphe est-il conservatif ? 2. SoitAun graphe orienté.

a. Préciser les ensembles [

s∈S+

{(s, s⁰), s⁰∈V₊(s)} [

s∈S−

{(s⁰, s), s⁰∈V₋(s)}

b. Montrer que

]A= X

s∈S+

d+(s) = X

s∈S−

d₋(s)

3. SoitAun graphe orienté. Montrer que X

(s,s⁰)∈A

d+(s⁰) = X

s⁰∈S−

d₋(s⁰)d+(s⁰) X

(s,s⁰)∈A

d₋(s) = X

s∈S₊

d₋(s)d+(s)

4. On dit qu'un graphe orientéAcontient un triangle si et seulement si

∃(s1, s2, s3)∈ S³ tel que :







(s₁, s₂)∈ A (s2, s3)∈ A (s3, s1)∈ A

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Amantel

(2)

a. Montrer queAcontient un triangle si et seulement si

∃(s, s⁰)∈ Atel queV₊(s⁰)∩V₋(s)6=∅

b. Montrer que siAne contient pas de triangle alorsT(a)≤]S pour toute arêtea. 5. Montrer que, siAest un graphe orienté conservatif,

√ 2]A ≤

s ]S X

a∈A

T(a)

6. Théorème de Mantel (1907).

SoitAun graphe orienté conservatif. Montrer que si

]A>1 2(]S)² alorsAcontient un triangle.

Partie II. Graphes non orientés.

On dénit un graphe non orienté comme étant un ensemble de paires (parties à deux éléments) d'un ensembleE.

1. Comment peut-on dénir simplement un graphe orienté Aà partir d'un graphe non orientéO? Que peut-on dire des ensembles de sommets ? Quelle propriétéApossède- t-il automatiquement ? Former une relation entre les nombres d'arêtes.

2. Formulez et démontrez un résultat analogue au théorème de Mantel pour un graphe non orienté.

Fig. 2: Graphe bipartite complet.

3. Lorsque l'ensemble E est une union disjointe de deux ensembles E1 (contenant n1

éléments) et E2 (contenantn2 éléments), on dénit un graphe non orientéB (appelé graphe bipartite complet) par :

chaque élément deE1est relié à chaque élément deE2. il n'existe aucune liaison entre deux éléments deE1. il n'existe aucune liaison entre deux éléments deE₂. Calculer]B.

4. Soitnun entier naturel non nul quelconque.

Montrer qu'il existe un graphe non orienté tel que : le nombre de sommets estn

il ne contient pas de triangle

le nombre d'arêtes est la partie entière de ⁿ₄².

On pourra séparer les cas pairs et impairs pour le nombre de sommets.

(3)

Corrigé

Question préliminaire.

Il s'agit d'une question de cours portant sur la démonstration de l'inégalité de Cauchy- Schwarz.

On dénit une fonctionϕdeRdansRpar :

∀t∈R:ϕ(t) =

n

X

i=1

(ai+tbi)²

Sous cette forme, il est bien clair queϕne prend que des valeurs positives ou nulles. D'autre part,ϕest en fait polynomiale du second degré. Après développement :

∀t∈R:ϕ(t) =

n

X

i=1

a_i²

! t²+ 2t

n

X

i=1

a_ib_i

! +

n

X

i=1

b_i²

!

Le discriminant de cette expression du second degré doit être négatif ou nul pour qu'elle reste toujours positive ou nulle. Cela conduit à l'inégalité demandée.

Partie I. Graphes orientés

1. a. En examinant la gure, on remplit facilement le tableau suivant : s V₊(s) d₊(s) V₋(s) d₋(s)

1 {3} 1 {6} 1

2 ∅ 0 ∅ 0

3 ∅ 0 {1} 1

4 {5} 1 {5} 1

5 {4} 1 {4} 1

6 {1} 1 ∅ 0

b. On déduit du tableau précédent :

S−={1,3,4,5} S+ ={1,4,5,6} S={1,3,4,5,6}

c. Le graphe n'est pas conservatif car, par exemple,d−(6) = 0 etd+(6) = 1). 2. a. Il est bien clair que les deux ensembles proposés sont des ensembles d'arêtes. Ils

sont donc inclus dansA.

Réciproquement, pour toute arêtea∈ A, il existe des sommetss1 ets2 tels que a= (s1, s2). Avec les dénitions données au début,s1est un sommet initial donc dansS+ avecs₂∈V₊(s₁)et

(s₁, s₂)∈ {(s1, s⁰), s⁰∈V₊(s₁)} ⇒a= (s₁, s₂)∈ [

s∈S+

{(s, s⁰), s⁰∈V₊(s)}

De même,s₂ est un sommet nal donc dansS₋ avecs₁∈V₋(s₂)et (s₁, s₂)∈ {(s, s₂), s∈V₋(s₂)} ⇒a= (s₁, s₂)∈ [

s⁰∈S−

{(s, s⁰), s⁰∈V₊(s)}

On a donc : [

s∈S+

{(s, s⁰), s⁰ ∈V₊(s)}= [

s⁰∈S−

{(s, s⁰), s⁰∈V₊(s)}=A

b. D'après la question précédente, l'union des ensembles{(s, s⁰), s⁰ ∈V+(s)} pours décrivantS+est égale à A.

Chacun de ces ensembles contientd+(s)éléments car il est en bijection avecV+(s) par l'applications⁰→(s, s⁰).

Pour deux s distincts, ces ensembles sont disjoints car les premiers termes des couples sont distincts.

Ces ensembles constituent une partition deA. On en déduit que le nombre d'élé- ments dans A est la somme des nombres d'éléments de ces ensembles, c'est à dire

]A= X

s∈S+

d₊(s)

La démonstration de l'autre égalité est analogue.

3. Dans cette question, il faut bien réaliser que les sommes à gauche des égalités portent sur des ensembles d'arêtes et non de sommets. On utilise encore la partition deAde la question2.aet on regroupe les arêtes qui ont un même sommet nal :

X

(s,s⁰)∈A

d+(s⁰) = X

s⁰∈S−



 X

s∈V−(s⁰)

d+(s⁰)



= X

s⁰∈S−

] V−(s⁰)d+(s⁰) = X

s⁰∈S−

d−(s⁰)d+(s⁰)

La démonstration est la même pour l'autre égalité en regroupant cette fois les arêtes qui ont un même sommet initials.

(4)

4. a. Si un graphe orientéAcontient un triangles1, s2, s3alors, par dénition,(s3, s1) est une arête avecs2∈V+(s1)ets2∈V−(s3)donc il existe une arête(s, s⁰)(avec s=s₃et s⁰=s₁) telle queV₊(s⁰)∩V₋(s)est non vide.

Réciproquement, si(s, s⁰)est une arête telle queV₊(s⁰)∩V−(s)contient un élément w, il est immédiat que(s⁰, w, s)est un triangle du graphe.

b. Si le graphe ne contient pas de triangle, alors pour toute arêtea= (s, s⁰), on doit avoirV₊(s⁰)∩V₋(s)vide. On en tire

](V+(s⁰)∪V₋(s)) =d+(s⁰) +d₋(s) V₊(s⁰)∪V₋(s)⊂ S

)

⇒T(a) =d+(s) +d₋(s)≤]S

5. Comme le graphe est conservatif, on peut confondre les types de sommets et les nombres d'arêtes d. On notera en particulier d(s) = d₋(s) = d₊(s) pour tout sommet s. On déduit de la question 3. que

X

a∈A

T(a) = X

(s,s⁰)∈A

d₋(s) + X

(s,s⁰)∈A

d+(s⁰) = 2X

s∈S

d(s)²

D'autre part, d'après 2.b, on peut majorer le nombre d'arêtes avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

] A=X

s∈S

d(s) =X

s∈S

(d(s)×1)≤ v u u t

X

s∈S

d(s)²

! X

s∈S

1

!

On en tire

] A≤ v u u t 1 2

X

a∈A

T(a)

! ]S Ce qui conduit à l'inégalité demandée.

6. Considérons un graphe conservatif qui ne contient pas de triangle, on peut appliquer les inégalités de 5. et 4.b :

] A≤ v u u t 1 2

X

a∈A

T(a)

! ]S ≤

r1

2(]A ×]S)]S

⇒p

2]A ≤]S ⇒]A ≤ 1 2(]S)² On en tire le théorème de Mantel. Si un graphe orienté conservatif vérie2]A>(]S)², alors il ne contient pas de triangle.

Partie II. Graphes non orientés

1. À chaque paire {s, s⁰} d'un graphe non orienté O on peut associer les deux couples (s, s⁰),(s⁰, s). Constituons un graphe orientéAavec tous ces couples. Les ensembles de sommets sont alors les mêmes mais le graphe orienté contient deux fois plus d'arêtes.

]A= 2]O. Le graphe orientéAest automatiquement conservatif.

2. On peut appliquer le théorème de Mantel au graphe orienté conservatif Aassocié au graphe non orientéO. On en déduit que si

]O> (]S)² 4 alors le grapheO ne contient pas de triangle.

3. Classons les arêtes d'un graphe bipartite complet suivant le sommet de départ dans E1. Il y a toujours n2 arêtes issues d'un sommet donné. On en déduit que le nombre d'arêtes estn1n2oùn1 etn2 sont les nombres d'éléments deE1 etE2.

4. Notonspla partie entière de ⁿ₂ de sorte quen= 2psinest pair etn= 2p+ 1sinest impair.

On peut remarquer alors que

n²= 4p² sinpair n²= 4p²+ 4p+ 1 sinpair )

⇒ bn² 4 c=

(p² sinpair p²+p sinimpair Notonsn₁=pet dénissonsn₂par :

n2=

(p sinpair p+ 1 sinimpair

On peut donc partitionner un ensemble E à n éléments en deux parties E₁ et E₂ et former un graphe bipartite complet contenantn₁n₂arêtes avec :

n1n2=

(p² sinpair p²+p sinimpair )

=bn² 4 c

Comme un graphe bipartite complet est évidemment sans triangle, on a montré que l'in- égalité du theorème de Mantel assurant qu'un graphe est sans triangle est la meilleure possible.