Spé Chapitre3 : Graphes 2 Page 1
Chapitre3 : GRAPHES (Partie 2)
Objectifs :
*Savoir ce qu’est un graphe orienté et un graphe pondéré et comment les utiliser
* Savoir résoudre des problèmes à l’aide de graphe orienté et pondéré
* Savoir appliquer l’algorithme de Dijkstra
*Savoir étudier des graphes probabilistes
I. Graphes orientés
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 1,2p282
Définitions :
Un graphe est orienté si ses arêtes, appelées arcs dans ce cas, ont un sens de parcours.
Un chemin est une succession d'arcs mis bout à bout.
Un graphe est étiqueté si ses arêtes sont affectés d'étiquettes (mots, lettres, symboles, nombres, …)
Exemple : Le graphe orienté ci-contre est d'ordre 3 car il possède 3 sommets.
Il possède une boucle sur le sommet A.
A – C – B est un chemin de longueur 2.
B – C – B – A – A – C – B est un chemin fermé de longueur 6.
A – C – B – A est un circuit de longueur 3.
Définition : Soit un graphe G orienté d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n.
La matrice d'adjacence M associée à G est la matrice carrée de taille n dont chaque terme est égal au nombre d'arcs orientés reliant les sommets i et j.
Exemple : La matrice d'adjacence associée au graphe ci-contre est :
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
2,4p290+12,13,14,16,18p294+41p298+43,45,46p299
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 1,3p290+15,17,19p294+40,42p298+44,47p299
II. Graphes pondérés
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 3,partie Bp284+4p285+5p286
Spé Chapitre3 : Graphes 2 Page 2 Définitions :
Dans le cas d’un graphe étiqueté où les étiquettes sont des nombres, le graphe est dit pondéré. Les étiquettes sont appelées les poids entre les sommets.
Le poids d'un chemin est la somme des poids des arêtes constituant le chemin.
Exemple : Le graphe orienté ci-contre est pondéré.
Le poids entre le sommet B et le sommet A est égal à 5.
Le poids du chemin B – C – B – A est égal à : 1 + 3 + 5 = 9
Remarque : Le chemin le plus court entre deux sommets est le chemin qui a le poids minimum.
Méthode : Trouver le plus court chemin dans un graphe en utilisant l'algorithme de Dijkstra Le graphe ci-contre représente un réseau routier
entre 7 villages A, B, C, D, E, F et G. Les étiquettes correspondent aux distances en kilomètres séparant deux villages.
On veut déterminer le chemin le plus court entre les villages A et G. Il s'agit donc de déterminer le chemin reliant A et G dont le poids est minimum.
On va utiliser l'algorithme de Dijkstra :
A B C D E F G
0(A) 1(A) 2(A) + + + + Etape 1 : le point de départ est A, on indique la distance entre chaque sommet par rapport à A. On
indique + pour les sommets non reliés à A.
1(A) 2(A) 3(B) + 4(B) + Etape 2 : la distance la plus faible est celle reliant A à B donc on note cette distance puis on indique la distance entre chaque sommet par rapport à B (en ajoutant celle de A à B). C n’étant pas relié à B, on
recopie l’état précédent 2(A) 5>3
3(B)
6(C) 4(B) + Etape 3 : On continue ainsi (C est le sommet le plus près de A). Lorsque la distance est supérieur à l’étape précédente, on recopie l’étape précédente.
3(B) 5(D) 6>4 4(B)
6(D)
Etape4 :D est le sommet le plus près de A 5(D) 4(B) 8>6
6(D) Etape5 :F est le sommet le plus près de A 5(D) 10>6
6(D) Etape6 :E est le sommet le plus près de A 6(D) Etape7 :G est le sommet le plus près de A
Spé Chapitre3 : Graphes 2 Page 3 Le chemin le plus court est donc égal à 6 km. Pour obtenir ce chemin, on suit "à l'envers" les
correspondances du tableau : Colonne G : 6(D)
Colonne D : 3(B) Colonne B : 1(A) Colonne A : 0
Le chemin le plus court est donc A – B – D – G.
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 6p291+20,23,24p295+51,52,55p301+69p306
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 5,7p291+21,22p295+48,49p299+50,52,53,54p301+70,71p306 III. Graphes probabilistes
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 6p287+7p288
Définition : Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré possédant au plus un arc entre deux sommets et dont la somme des poids des arcs issus d'un même sommet est égal à 1.
Définition : Soit G un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n.
La matrice de transition de G est la matrice carrée d'ordre n dont le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j est la probabilité portée par l'arc reliant le sommet i vers le sommet j s'il existe et 0 dans le cas contraire.
Remarque : La somme des coefficients d'une même ligne d'une matrice de transition est égale à 1.
Définition : L'état probabiliste après n étapes est la matrice ligne dont les coefficients sont les probabilités d'arrivée en chaque sommet après n étapes.
Propriété : On considère un graphe probabiliste de matrice de transition M et dont l'état probabiliste après n étape est . Pour tout entier naturel n, on a :
et où P0 est l'état initial.
Définition : Un état probabiliste est dit stable lorsqu'il n'évolue pas lors de répétitions de l'expérience.
Propriété : L'état stable P vérifie l'égalité .
Remarque : Si n tend vers l'infini et qu’aucun coefficient de M n’est nul, alors l'état probabiliste tend vers l'état stable P.
Spé Chapitre3 : Graphes 2 Page 4 Exemple : Soit la situation suivante : 2 opérateurs téléphoniques se partagent le réseau. Chaque année 20% des clients de A passent chez B et 30% de B passent chez A. Initialement, A possédait 10% du marché.
1. Représenter à l’aide d’un graphe probabiliste la situation.
2. Déterminer la matrice probabiliste de l’état initiale de la situation ainsi que la matrice de transition. On considérera les sommets dans l’ordre alphabétique.
3. Déterminer P4 et expliquer ce qu’elle signifie concrètement.
4. Déterminer l’état stable et interpréter ce résultat.
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
9,11p293+35,36p297+56p301+59,60,62p303+65p304+67 ,68p305+73p307+74,75p308+1p312+
3p312+9p317+13,14p319+16,17p321
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
8,10p293+34p297+57p301+58,61,63p303+64,66p304+72p307+76p309+2p312+p314,315+7,8p316+
10p317+11,12p318+15p320
