Leçon 2 : Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l’utilisation de graphes orientés ou non
Pré requis :
- calcul matriciel
- vocabulaire et résultats élémentaires concernant les graphes ( c’est à dire définitions de graphes, de sommets, d’arêtes, de sommets adjacents, de l’ordre d’un graphe, de degré d’un sommet…)
Problème 1 : les ponts de Königsberg
Pour modéliser le problème, introduisons quelques définitions et théorèmes nécessaires à la résolution de ce premier problème.
Définitions :
- Une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant
- Une chaîne fermée est une chaîne dont l’origine et l’extrémité sont confondues.
- Une chaîne Eulérienne est une chaîne qui contient une et une seule fois chacune des arêtes du graphe.
- Un graphe est dit connexe si on peut relier deux sommets quelconques par une chaîne
- Un cycle est une chaîne fermée composée d’arêtes toutes distinctes - Un cycle Eulérien est une chaîne Eulérienne fermée.
Théorème 1 : un graphe connexe admet un cycle Eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degrés pairs.
Théorème 2 : un graphe connexe admet une chaîne Eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommets de degrés impairs.
Démonstration dans le sens direct : supposons qu’un graphe connexe G admette une chaîne Eulérienne débutant d’un sommet A et finissant à un sommet D. Alors :
- 1er cas : ou bien A ≠ D et dans ce cas, chaque sommet de la chaîne Eulérienne en question est de degré 2 sauf les sommets A et D ( qui sont de degrés 1 ) et donc cette chaîne Eulérienne admet deux sommets de degrés impairs.
- 2ème cas : A = D et c’est un cycle Eulérien et donc il y a 0 sommets de degré impairs.
Problème 2 : nombres de chaînes de longueur k d’extrémités i et j
Définition : On appelle matrice d’un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, la matrice M= ( mij ) ( 1 ≤ i, j ≤ n ) d’ordre n dont le coefficient mij ( situé à la i-ème ligne et j-ème colonne ) est égal au nombre d’arêtes partant du sommet i et arrivant sur le sommet j.
Théorème 3 : Soit M=( mij ) la matrice d’un graphe à n sommets. Le nombre de chaînes de longueurs k reliant i à j est égal au coefficient de la matrice Mk situé à la i-ème ligne et j-ème colonne.
Problème 3 : chaîne de poids minimal- Algorithme de Dijkstra
Définition : un graphe pondéré est un graphe dont chacune des arêtes est associée à un réel appelé poids. Le poids d’une chaîne est la somme des poids des arêtes qui la composent.
Problème 4 : coloriage et nombre chromatique
But du coloriage : cela permet d’optimiser certaines situations. Le coloriage est utilisé pour résoudre des problèmes d’incompatibilités.
Définition :
- Colorier un graphe, c’est associer une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets adjacents n’est jamais la même couleur.
- Le nombre chromatique d’un graphe G noté γ(G) est le plus petit nombre de couleurs permettant de le colorier.
- Un sous-graphe d’un graphe G est un graphe constitué de certains sommets de G et de toutes les arêtes qui les relient.
Propriétés 1 : un graphe complet ( c’est a dire que deux sommets quelconques du graphe sont toujours reliés par une arête ) d’ordre n nécessite n couleurs pour être colorié. Par conséquent, si un graphe G contient un sous graphe complet d’ordre d, alors γ(G) ≥ d .
Théorème 3 : soit ∆ le plus haut degré des sommets d’un graphe G. Alors γ(G) ≤ ∆ + 1
Conséquence : Soit G un graphe. Avec les notations précédentes, on a d ≤ γ(G) ≤ ∆ + 1
Remarque : attention, le nombre de couleurs pour colorier un graphe trouvé à l’aide de l’algorithme de Welsh-Powell n’est pas forcément le nombre chromatique de ce graphe.
