D1871 – Si et seulement si [**** à la main]
Problème proposé par Pierre Renfer
Soit un triangle ABC et son cercle (Γ) circonscrit de centre O. Le cercle inscrit de centre I touche AC en E et AB en F. Les droites BE et CF se coupent en Ge. Démontrer que la droite IGe coupe le cercle (Γ) au point A' diamétralement opposé à A dans ( Γ) si et seulement si le triangle est rectangle en A ou isocèle de sommet A.
Solution proposée par l’auteur
Coordonnées du centre O du cercle circonscrit, du centre I du cercle inscrit et du point Gergonne Ge
) c b a ( c
) c b a ( b
) c b a ( a O
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
) c b a ( ) c b a (
) c b a ( ) c b (a
) c b a ( ) c b (a Ge
c b a I
Si S désigne la somme des coordonnées de O, on choisit pour A les coordonnées :
0 0 S A
On obtient alors les coordonnées de A' en retranchant ces coordonnées de A aux doubles des coordonnées de O :
) c b a ( c 2
) c b a ( b 2
) c b a ( ) c b a ( ' A
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Les points A', Ge , I sont alignés si et seulement si est nul le déterminant D suivant :
c ) c b a ( ) c b a ( )
c b a ( c 2
b ) c b a ( ) c b (a )
c b a ( b 2
a ) c b a ( ) c b (a ) c b a ( ) c b a ( D
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
Le déterminant se factorise : D(cb)(a2b2 c2)(abc)(abc)(abc)(abc) Seul les deux premiers facteurs sont susceptibles de s'annuler.
On conclut que les points A', Ge , I sont alignés si et seulement si le triangle ABC est isocèle en A ou rectangle en A.
