On appelle graphe orienté une partie de E × E ne contenant aucun élément de la forme (s, s) pour s ∈ E .

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Problème

Dans tout le problème

, E désigne un ensemble ni. lorsque Ω est un ensemble ni, on notera ] Ω le nombre d'éléments de Ω .

On appelle graphe orienté une partie de E × E ne contenant aucun élément de la forme (s, s) pour s ∈ E .

Un graphe orienté est conventionnellement représenté par un dessin avec des cercles et des èches. Par exemple, le graphe orienté A représenté par la gure 1 est déni par :

Fig. 1: Exemple de graphe orienté A .

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {(1, 3), (5, 4), (6, 1), (4, 5)}

On introduit diverses dénitions.

Une arête est un élément d'un graphe orienté : c'est à dire un couple d'éléments de E . Soit s ∈ E .

On note V

(s) l'ensemble des s

∈ E tels que (s, s

) ∈ A et d

(s) = ] V

(s) le nombre d'éléments de V

(s) .

On dit que s est un sommet initial lorsque V

(s) est non vide. On note S

l'ensemble des sommets initiaux.

On note V

(s) l'ensemble des s

∈ E tels que (s

, s) ∈ A et d

(s) = ] V

(s) le nombre d'éléments de V

(s) .

On dit que s est un sommet nal lorsque V

(s) est non vide. On note S

l'ensemble des sommets naux.

On note S = S

∪ S

. Un élément de S est appelé un sommet.

1d'aprèsModern Graph TheoryBela Bollobas Springer

Pour toute arête a ∈ A , on note T (a) = d

(s) + d

(s

) lorsque a = (s, s

) . On dira qu'un graphe orienté A est conservatif si et seulement si

∀s ∈ E : d

(s) = d

(s) Question préliminaire.

Soit n un entier naturel non nul et a

, · · · , a

, b

, · · · , b

des nombres réels quelconques.

Montrer que :

n

X

i=1

a

b

≤ v u u t

n

X

i=1

a

v u u t

n

X

i=1

b

Partie I. Graphes orientés.

1. Dans cette question seulement, le graphe orienté A est celui de l'exemple.

a. En présentant les résultats dans un tableau, préciser V

(s) , d

(s) , V

(s) , d

(s) pour chaque s ∈ E .

b. Préciser les ensembles S

, S

, S . c. Le graphe est-il conservatif ? 2. Soit A un graphe orienté.

a. Préciser les ensembles [

s∈S+

{(s, s

), s

∈ V

(s)} [

s∈S−

{(s

, s), s

∈ V

(s)}

b. Montrer que

] A = X

s∈S₊

d

(s) = X

s∈S−

d

(s)

3. Soit A un graphe orienté. Montrer que X

(s,s⁰)∈A

d

(s

) = X

s⁰∈S−

d

(s

)d

(s

) X

(s,s⁰)∈A

d

(s) = X

s∈S+

d

(s)d

(s)

4. On dit qu'un graphe orienté A contient un triangle si et seulement si

∃(s

, s

, s

) ∈ S

tel que :



 

 

(s

, s

) ∈ A (s

, s

) ∈ A (s

, s

) ∈ A

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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a. Montrer que A contient un triangle si et seulement si

∃(s, s

) ∈ A tel que V

(s

) ∩ V

(s) 6= ∅

b. Montrer que si A ne contient pas de triangle alors T (a) ≤ ] S pour toute arête a . 5. Montrer que, si A est un graphe orienté conservatif,

√ 2 ] A ≤

s ] S X

a∈A

T (a)

6. Théorème de Mantel (1907).

Soit A un graphe orienté conservatif. Montrer que si ] A > 1

2 ( ] S)

alors A contient un triangle.

Partie II. Graphes non orientés.

On dénit un graphe non orienté comme étant un ensemble de paires (parties à deux éléments) d'un ensemble E .

1. Comment peut-on dénir simplement un graphe orienté A à partir d'un graphe non orienté O ? Que peut-on dire des ensembles de sommets ? Quelle propriété A possède- t-il automatiquement ? Former une relation entre les nombres d'arêtes.

2. Formulez et démontrez un résultat analogue au théorème de Mantel pour un graphe non orienté.

Fig. 2: Graphe bipartite complet.

3. Lorsque l'ensemble E est une union disjointe de deux ensembles E

(contenant n

éléments) et E

(contenant n

éléments), on dénit un graphe non orienté B (appelé graphe bipartite complet) par :

chaque élément de E

est relié à chaque élément de E

. il n'existe aucune liaison entre deux éléments de E

. il n'existe aucune liaison entre deux éléments de E

. Calculer ] B .

4. Soit n un entier naturel non nul quelconque.

Montrer qu'il existe un graphe non orienté tel que : le nombre de sommets est n

il ne contient pas de triangle

le nombre d'arêtes est la partie entière de

.

On pourra séparer les cas pairs et impairs pour le nombre de sommets.

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