Soit E un ensemble ni, on appelle n -recouvrement de E un n -uplet (E

MPSI B DS 4 29 juin 2019

Exercice 1 : nombre de recouvrements.

Soit E un ensemble ni, on appelle n -recouvrement de E un n -uplet (E

, · · · , E n )

de parties de E dont la réunion est E .

Soient A et B deux ensembles quelconques, on considère une application Φ _AB dénie de la manière suivante

F(A, P(B)) → F(B, P(A)) f → Φ _AB (f ) = ϕ avec

∀b ∈ B, ϕ(b) = {a ∈ A, b ∈ f(a)}

1. Préciser pour un exemple de A , B , f de votre choix la fonction ϕ .

2. Explicitez Φ AB ◦ Φ BA et Φ BA ◦ Φ AB . Montrer que Φ AB est une bijection. Vérier, en les calculant autrement, que F(A, P (B )) et F(B, P (A)) ont le même nombre d'éléments lorsque A et B sont nis.

3. Dans toute la suite, on suppose que A = {1, · · · , n} et B = E . Si f est une application de A dans P (E) , on pose

E

= f (1), E

= f (2), · · · , E n = f(n), ϕ = Φ AB (f )

a. Désignons par Ω i l'ensemble des parties de A contenant i . Montrer que E _i = ϕ

(Ω _i )

b. Montrer que E

∪ · · · ∪ E _n = E si et seulement si l'ensemble vide n'est pas un élément de ϕ(E) . En déduire le nombre de n -recouvrements de E . Montrer que

∀i ∈ {1, · · · , n}, E i 6= ∅ ⇔ [

x∈E

ϕ(x) = {1, · · · , n}

Exercice 2 : suite dénie par récurrence.

On note I =]0,

6

[ et f la fonction dénie sur I par f (x) = x − 2x

. Soit (u _n ) _n∈

la suite dénie par :

u

= 1

10 , u _n+1 = u _n − 2u

_n

1. a. Déterminer les variations de f puis comparer f (I) à I . b. Montrer que (u _n ) _n∈

est monotone.

c. Montrer que (u n ) _n∈N

est convergente et déterminer sa limite.

2. Théorème de Cesàro.

Soit (v n ) n∈

une suite qui converge vers un réel l . On dénit alors la suite (M n ) n∈

par :

M n = v

+ v

+ · · · + v n

n

M _n est la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite.

a. Traduire à l'aide de quanticateurs le fait que (v _n ) _n∈

converge vers l . b. Soit n un entier non nul et p un entier tel que 1 ≤ p ≤ n . Montrer que

|M n − l| ≤ 1 n

p

X

k=1

|v k − l| + max

p<k≤n |v k − l|

c. Conclure avec soin que si (v n ) n∈

converge vers l alors (M n ) n∈

converge aussi vers l .

3. Application à la recherche d'un équivalent.

a. Déterminer la limite en 0 de

1

(x − 2x

)

− 1 x

En déduire la limite de (v _n ) _n∈

dénie par :

v _n = 1 u

_n+1 − 1

u

_n

b. Donner un équivalent de la suite (u _n ) _n∈

.

Exercice 3 : équation fonctionnelle

L'objectif du problème est d'étudier l'ensemble noté E des fonctions continues de R dans R solutions d'une certaine équation fonctionnelle

. Soit f ∈ C

( R , R ) quelconque,

f ∈ E ⇔ ∀(x, y) ∈ R

: f (x + y) + f(x − y) = 2f (x)f (y)

On pourra utiliser librement le résultat suivant dont la démonstration n'est pas demandée.

1

d'après Épreuve spécique Mines d'Albi 2000 dont l'origine remonte à "Leçons sur quelques équations fonctionnelles" E Picard 1928. Voir Aeqfonc2.pdf

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Soit a un réel strictement positif xé et D _a = n

a p

2 ^q tq p ∈ Z , q ∈ N o

tout nombre réel est alors la limite d'une suite d'éléments de D a . Partie I.

1. Montrer que la fonction cos est dans E .

2. Exprimer pour x et y réels ch(x+y) à l'aide des fonctions ch et sh en x et y . En déduire que la fonction ch est dans E .

3. Soit f ∈ E et α ∈ R. Montrer que la fonction f α dénie par x 7→ f _α (x) = f (αx) est dans E .

4. On xe un élément f ∈ E . Montrer que : a. f (0) ∈ {0, 1}

b. Si f (0) = 0 alors f est la fonction identiquement nulle.

c. Si f (0) = 1 alors f est une fonction paire.

Partie II.

La partie F est constituée par les éléments de E autres que la fonction identiquement nulle et qui s'annulent au moins une fois. Dans toute cette partie f désigne une fonction de F xée. On pose

E = {x > 0 tq f (x) = 0}

1. a. Montrer que f (0) = 1 et que f s'annule au moins une fois sur R

.

b. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on notera a . Cette notation est valable pour toute la suite de la partie.

c. Prouver que f (a) = 0 . En déduire a > 0 . d. Montrer que pour tous les x ∈ [0, a[ , f (x) > 0 . 2. On dénit un réel ω et une fonction g dans R :

ω = π

2a g : x 7→ cos(ωx)

a. Soit q un entier naturel, montrer que f ( a

2 ^q ) + 1 = 2 f ( a

2 ^q+1 )

b. En déduire que pour tout entier naturel q : f ( a

2 ^q ) = g( a 2 ^q ) c. Prouver que f (x) = g(x) pour tout x ∈ D a . 3. Montrer que f = g . En déduire tous les éléments de F . Partie III.

Dans toute cette partie, f désigne une fonction de E qui ne s'annule pas.

1. On dénit par récurrence une suite avec les relations u

= 1

√ 2 , ∀n ∈ N : u n+1 =

r 1 + u n

2

Montrer que cette suite est croissante, majorée par 1 et préciser sa limite.

2. a. Montrer que f (x) ≥

2

pour tout x réel.

b. Montrer que f (x) ≥ 1 pour tout x réel.

3. Montrer qu'il existe un réel α ≥ 0 tel que

∀x ∈ R : f (x) = ch(αx)

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