MPSI B Année 2015-2016 DM 3 pour vendredi 09/10/15 29 juin 2019
Dans tout le problème1,E désigne un ensemble ni. lorsqueΩest un ensemble ni, on notera]Ωle nombre d'éléments deΩ.
On appelle graphe orienté une partie deE × E ne contenant aucun élément de la forme (s, s)pour s∈ E.
Un graphe orienté est conventionnellement représenté par un dessin avec des cercles et des èches. Par exemple, le graphe orientéAreprésenté par la gure1est déni par :
Fig. 1: Exemple de graphe orientéA.
E={1,2,3,4,5,6} A={(1,3),(5,4),(6,1),(4,5)}
On introduit diverses dénitions.
Une arête est un élément d'un graphe orienté : c'est à dire un couple d'éléments deE. Soits∈ E.
On noteV+(s)l'ensemble dess0 ∈ Etels que(s, s0)∈ Aetd+(s) =] V+(s)le nombre d'éléments deV+(s).
On dit quesest un sommet initial lorsqueV+(s)est non vide. On noteS+l'ensemble des sommets initiaux.
On noteV−(s)l'ensemble dess0 ∈ Etels que(s0, s)∈ Aetd−(s) =] V−(s)le nombre d'éléments deV−(s).
On dit quesest un sommet nal lorsqueV−(s)est non vide. On noteS−l'ensemble des sommets naux.
On noteS=S−∪ S+. Un élément deS est appelé un sommet.
Pour toute arêtea∈ A, on noteT(a) =d−(s) +d+(s0)lorsque a= (s, s0).
1d'aprèsModern Grap TheoryBela Bollobas Springer
On dira qu'un graphe orientéAest conservatif si et seulement si
∀s∈ E:d−(s) =d+(s) Question préliminaire.
Soit n un entier naturel non nul et a1,· · · , an, b1,· · ·, bn des nombres réels quelconques.
Montrer que :
n
X
i=1
aibi
≤ v u u t
n
X
i=1
a2i v u u t
n
X
i=1
b2i
Partie I. Graphes orientés.
1. Dans cette question seulement, le graphe orientéAest celui de l'exemple.
a. En présentant les résultats dans un tableau, préciserV+(s), d+(s),V−(s),d−(s) pour chaques∈ E.
b. Préciser les ensemblesS−,S+,S. c. Le graphe est-il conservatif ? 2. SoitAun graphe orienté.
a. Préciser les ensembles [
s∈S+
{(s, s0), s0∈V+(s)} [
s∈S−
{(s0, s), s0∈V−(s)}
b. Montrer que
]A= X
s∈S+
d+(s) = X
s∈S−
d−(s)
3. SoitAun graphe orienté. Montrer que X
(s,s0)∈A
d+(s0) = X
s0∈S−
d−(s0)d+(s0) X
(s,s0)∈A
d−(s) = X
s∈S+
d−(s)d+(s)
4. On dit qu'un graphe orientéAcontient un triangle si et seulement si
∃(s1, s2, s3)∈ S3 tel que :
(s1, s2)∈ A (s2, s3)∈ A (s3, s1)∈ A
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1503E
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a. Montrer queAcontient un triangle si et seulement si
∃(s, s0)∈ Atel queV+(s0)∩V−(s)6=∅
b. Montrer que siAne contient pas de triangle alorsT(a)≤]S pour toute arêtea. 5. Montrer que, siAest un graphe orienté conservatif,
√ 2]A ≤
s ]S X
a∈A
T(a)
6. Théorème de Mantel (1907).
SoitAun graphe orienté conservatif. Montrer que si ]A>1
2(]S)2 alorsAcontient un triangle.
Partie II. Graphes non orientés.
On dénit un graphe non orienté comme étant un ensemble de paires (parties à deux éléments) d'un ensembleE.
1. Comment peut-on dénir simplement un graphe orienté Aà partir d'un graphe non orientéO? Que peut-on dire des ensembles de sommets ? Quelle propriétéApossède- t-il automatiquement ? Former une relation entre les nombres d'arêtes.
2. Formulez et démontrez un résultat analogue au théorème de Mantel pour un graphe non orienté.
Fig. 2: Graphe bipartite complet.
3. Lorsque l'ensemble E est une union disjointe de deux ensembles E1 (contenant n1
éléments) et E2 (contenantn2 éléments), on dénit un graphe non orientéB (appelé graphe bipartite complet) par :
chaque élément deE1est relié à chaque élément deE2. il n'existe aucune liaison entre deux éléments deE1. il n'existe aucune liaison entre deux éléments deE2. Calculer]B.
4. Soitnun entier naturel non nul quelconque.
Montrer qu'il existe un graphe non orienté tel que : le nombre de sommets estn
il ne contient pas de triangle
le nombre d'arêtes est la partie entière de n42.
On pourra séparer les cas pairs et impairs pour le nombre de sommets.
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