II - Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications
1) Parties d’un ensemble
On suppose connues “intuitivement” la notion d’ensemble et larelation d’appartenance : on écritx∈E le fait que “x est unélément de E”.
Étant donnés deux ensemblesEetF, on dit queE est unepartiedeF, ou encore queE estinclus dans F, si et seulement si tout élément deE est un élément deF (formellement : ∀x (x∈E ⇒x∈F)ou encore : ∀x∈E x∈F). On note si c’est le casE ⊂F.
Pour tout ensemble E, on noteP(E) l’ensemble des parties deE.
Étant données deux parties A,B d’un ensembleE, on définit :
•leurintersection A∩B={x∈E / x∈A et x∈B}
(lire “l’ensemble desx éléments deE tels quex appartient à Aet xappartient à B”).
•leurréunion A∪B={x∈E / x∈A ou x∈B} (ou inclusif : A∩B⊂A∪B !)
•leurdifférence A\B={x∈E / x∈A et x /∈B}
•leurdifférence symétrique A∆B= (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B) (associée auou exclusif).
NB : lorsque A ⊂E, E\A est appelé le complémentaire de A dans E, noté aussi ∁A
E ou A s’il n’y a pas d’ambiguïté sur E (notamment en probabilités).
Attention ! Pour être développée en toute rigueur, la théorie des ensembles suppose une construction axiomatique précise. En effet, on ne peut attribuer le statut d’ensemble à n’importe quelle “collection” d’objets (cf. leparadoxe de Russell : siE était “l’ensemble de tous les ensembles”, considérer A ={X∈E / X /∈X} conduirait à une contradiction, puisqu’on ne pourrait avoir, ni A∈A, niA /∈A).
2) Produits d’ensembles
On suppose également connues intuitivement les notions de couple et plus généralement dep-uplet (ou p-liste) (liste ordonnée de p objets non nécessairement distincts, notée (x1, . . . , xp)). Les couples sont les 2-uplets de la forme(x, y),à ne pas confondre avec la paire {x, y}, ensemble à 2 éléments, cette dernière notation supposant quex=y. Les 3-uplets sont appelés triplets, les 4-upletsquadruplets, . . . Étant donnés deux ensembles E, F, on définit leur produit (cartésien) E×F comme l’ensemble des couples (x, y),x décrivantE et y décrivantF.
On définit de même le produit E1× · · · ×Ep =
p
k=1
Ek dep ensembles comme l’ensemble des p-uplets (x1, . . . , xp),xk décrivantEk pour tout k.
Lorsque lesEk sont tous égaux à un même ensemble E, ce produit est notéEp.
3) Applications
Formellement, étant donnés deux ensemblesE,F, uneapplication de Edans (ouvers)F est un triplet de la forme (E, F,Γ), où E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et Γ le graphe, étant par définition une partie de E×F vérifiant la condition suivante : pour tout xdeE, il existe un unique y deF tel que (x, y)∈Γ.
En pratique, une telle application étant notée f, on note – pour tout x de E – f(x) l’unique élément de F associé à x en vertu de la condition précédente, de sorte que le graphe de f s’écrit Γ ={(x, y)∈E×F / y =f(x)} ou encore sous formeparamétrique :
Γ ={(x, f(x)), x∈E} (lire “l’ensemble des couples(x, f(x)),x décrivantE”).
On écritf : E → F x → f(x)
l’applicationf de E dans F qui à x associef(x).
Lorsquey=f(x), on dit que :
•y est l’image de x par f (elle est unique) ;
•x estun antécédent de y par f (y peut admettre plusieurs antécédents).
Exemples : l’application de E dansE, qui à tout xassocie x lui-même, estl’identité de E (ouappli- cation identique), notéeIdE ou idE ;
étant donnée une partieA de E, l’application de E dans{0,1}qui àx associe 1 six∈A, 0 sinon, est la fonction indicatrice de A, notée1lA.
L’ensemble des applications de E dans F est notéF(E, F), ou parfoisFE.
Étant donné trois ensembles E, F, Get deux applicationsf ∈ F(E, F),g∈ F(F, G) (l’ensemble d’arrivée def est égal à l’ensemble de départ de g), on définit leur composée
g◦f : E → G
x → g◦f(x) =g f(x) .
Si f ∈ F(E, F) et A ∈ P(E), l’application de A dans F, qui à x associe f(x), est appelée la restriction de f à A, notéef|A.
Pourg∈ F(A, F), on dit quef est unprolongement de g à E si et seulement si f|A=g.
4) Injections, surjections, bijections
Soient E, F deux ensembles etf une application de E dans F. On dit quef est :
•une injection (ou application injective) si et seulement si tout élément de F admet au plus un antécédent parf, ce qui peut se traduire par la propriété suivante : pour tout(x, x′)∈E2,
f(x) =f x′ ⇒x=x′ ou encore (contraposée) x=x′⇒f(x) =f x′ ;
•unesurjection (ouapplication surjective) si et seulement si tout élément deF admetau moinsun antécédent parf (∀y∈F ∃x∈E y=f(x)) ;
•unebijection (ouapplication bijective) si et seulement sif est à la fois injective et surjective, c’est- à-dire si et seulement si tout élément deF admet un uniqueantécédent parf.
Théorème et définition :f ∈ F(E, F) est bijective si et seulement s’il existe g∈ F(F, E)telle que g◦f = IdE et f ◦g= IdF.
Si c’est le cas, gest unique, bijective, appelée la bijection réciproque de f, notée f−1. C’est l’application de F dans E qui, à tout élément y de F, associe son unique antécédent par f, x = f−1(y) (notation exclusive- ment réservée au cas oùf est bijective).
Attention ! On peut avoir g◦f = IdE alors que nif nig n’est bijective
(par exemple, E=F =G=N,f :x→x+ 1,g:y →0 si y= 0,y−1 siy >0).
Propriétés :soientE, F, Gtrois ensembles, f ∈ F(E, F) etg∈ F(F, G).
a)Si f etg sont injectives (resp. surjectives, bijectives), alors g◦f l’est aussi.
b)Lorsque f etg sont bijectives,(g◦f)−1=f−1◦g−1.
c)g◦f injective⇒f injective ; g◦f surjective⇒g surjective.
5) Image directe, image réciproque d’une partie par une application
Soient E, F deux ensembles etf une application de E dans F.
•Pour toute partieAdeE, on définit l’image directe de A par f, notéef(A), la partie deF définie par :
f(A) ={y∈F /∃x∈A y=f(x)}={f(x), x∈A}.
Attention ! x∈A⇒f(x)∈f(A) mais la réciproque peut être fausse si f n’est pas injective.
Exemple : f(E) est une partie deF, appeléeensemble image de f.
f est surjective si et seulement si f(E) =F.
•Pour toute partieB de F, on définit l’image réciproque de B par f, notéef−1(B), la partie de E définie par
f−1(B) ={x∈E / f(x)∈B}
Attention ! Cette notation est en usage même sif n’est pas bijective, on peut toujours écriref−1(B) avecBpartie de F ; par contre, l’expressionf−1(y) poury élément de E est réservée au cas oùf est bijective !!
6) Équations
Soient E,F deux ensembles, f une application de E dansF et bun élément deF.
“Résoudre l’équation f(x) = b (d’inconnue x ∈ E)”, c’est déterminer {x∈E / f(x) =b}, appelé ensemble des solutions de l’équation. Cet ensemble n’est autre que f−1({b}).
•L’ensemble des solutions est non vide si et seulement sib∈f(E).
•Sif est surjective, l’ensemble des solutions est non vide, quel que soitb.
•Sifest injective, l’ensemble des solutions est, soit vide (sib /∈f(E)), soit un singleton (sib∈f(E)).
•Sif est bijective, l’ensemble des solutions est le singleton f−1(b) , quel que soit b.
7) Familles
Soient I, E deux ensembles et x une application de I dans E. Dans certains contextes, on choisit de noter – pour i dans I – xi l’élément de E, image de i par x. x est alors notée (xi)i∈I (famille d’éléments de E indexée par I). L’ensemble des familles d’éléments deE indexées par I est notéEI.
•LorsqueI, partie deN, est de la forme [n0,+∞[, on parle desuite d’éléments de E, notée(xn)n≥n0.
•Lorsque I est un ensemble fini, on parle desystème d’éléments de E (ou defamille finie).
•Lorsque I = [[1, p]], on identifie souvent la famille (xi)i∈[[1,p]] et le p-uplet (x1, . . . , xp), ainsi que l’ensembleEI et le produit cartésienEp.
Attention ! Ne pas confondre famille(xi)i∈I et ensemble image{xi, i∈I}, qui est une partie deE.
Par exemple, pour une suite constante, l’ensembleI est infini tandis que l’ensemble image est un singleton.
8) Relations d’équivalence, relations d’ordre
Soit E un ensemble ; formellement, une relation binaire sur E est un coupleR= (E,Γ)où Γ est une partie de E×E, appelée le graphe de la relation R. En pratique, x,y étant dans E, on écritxRy et l’on dit quex est en relation avec y si et seulement si(x, y)∈Γ.
SiR est une relation binaire surE, on dit que :
•la relationR estréflexive si et seulement si : ∀x∈E xRx
•la relationR esttransitive si et seulement si : ∀(x, y, z)∈E3 xRy et yRz ⇒xRz
•la relationR estsymétrique si et seulement si : ∀(x, y)∈E2 xRy ⇒yRx
•la relationR estantisymétrique si et seulement si : ∀(x, y)∈E2 (xRy et yRx)⇒y=x
• Rest une relation d’équivalence sur E si et seulement si Rest réflexive, transitive et symétrique
• R est une relation d’ordre sur E si et seulement si R est réflexive, transitive et antisymétrique ; siR est une relation d’ordre sur E, deux éléments x,y de E sont dits comparables si et seulement sixRy ou yRx. Lorsque deux éléments quelconques sont comparables, on dit que l’ordre esttotal, sinon qu’il estpartiel.
Exemples : 1) surN, la relation ≤ (“inférieur ou égal à”) est une relation d’ordre total, la relation | (“divise”) est une relation d’ordre partiel (2 et 3 ne sont pas comparables)
2) dans P(E), la relation ⊂ (“inclus dans”) est une relation d’ordre, partiel dès que E possède au moins deux éléments !
3) dans n’importe quel ensemble E, la relation d’égalité est à la fois une relation d’ordre et une relation d’équivalence (Attention ! “antisymétrique” n’est pas le contraire de
“symétrique”)
4) dansE =Z×Z∗, la relation définie par (a, b)R(c, d)⇔ad=bc est une relation d’équivalence
5) étant donné θ∈R∗, la relation (congruence modulo θ) définie dans Rpar x≡y⇔ y−x
θ ∈Z est une relation d’équivalence
6) dans l’ensemble des droites d’un plan affine, la relation “est parallèle à” est une relation d’équivalence.
Classes d’équivalence
Soient E un ensemble non vide etR une relation d’équivalence surE.
Pour tout élément a de E, la classe d’équivalence de a est l’ensemble des éléments de E en relation aveca:
cl(a) ={x∈E / xRa}. On vérifie facilement que :
•deux éléments ont la même classe d’équivalence si et seulement s’ils sont en relation
•deux classes d’équivalence sont soit égales, soit disjointes
•les classes d’équivalence formentune partition deE (i.e. un ensemble de parties de E, non vides, disjointes deux à deux et dont la réunion est E).
Applications au dénombrement : dans le cas oùE est un ensemble fini, son cardinal est la somme des cardinaux des classes d’équivalences. Si ces dernières ont toutes même cardinal, le cardinal de E est le produit de ce cardinal commun par le nombre de classes d’équivalence (principe des bergers).
Concrètement, une relation d’équivalence sur E permet de regrouper (“classer”) les éléments deE par paquets ayant un “point commun” (le fait d’être en relation. . . ).
Revoir les exemples 4), 5) et 6) ci-dessus !
9) Lois de composition interne
Soit E un ensemble ; on appelleloi de composition interne sur E toute application de E×E dans E.
Si ∗ est une loi de composition interne sur E, l’élément de E associé à un couple(x, y) est en général noté x∗y (notationinfixe, au lieu de ∗(x, y), notation préfixe).
On dit que :
•la loi∗est associative si et seulement si : ∀(x, y, z)∈E3 (x∗y)∗z=x∗(y∗z) ;
•la loi∗est commutative si et seulement si : ∀(x, y)∈E2 x∗y=y∗x ;
•la loi∗admet un élément neutre si et seulement si : ∃e∈E ∀x∈E x∗e=e∗x=x.
Si c’est le cas, un tel élémenteest unique, appelél’élément neutre de la loi ∗.
Lorsque∗ admet un élément neutre e, on dit qu’un élémentx deE admet un symétrique pour la loi∗ si et seulement si : ∃x′ ∈E x∗x′ =x′∗x=e.
Si c’est le cas, un tel élément x′ est unique, appelé le symétrique de x pour la loi ∗, souvent notéx−1.
II
II - Structure de groupe
1) Définition
On appellegroupe tout couple(G,·)où·est une loi de composition interne surG, associative, possédant un élément neutre (noté e) et telle que tout élément x deGadmette un symétrique pour ·, noté x−1. On dit qu’un groupe(G,·)estabélien(oucommutatif) si et seulement si la loi·est en outre commutative.
NB : lorsque la loi est appeléemultiplication, l’élément neutre est souvent noté 1 et le symétrique est appelé inverse ; un groupe abélien est souvent noté (G,+), l’élément neutre étant noté 0 et le symétrique dex noté−x et appelé opposé dex (notationadditive).
Exemple : (Z,+),(R∗,×) sont des groupes abéliens.
Notations : on définit les itérés d’un élémentx d’un groupe en posant :
∗ dans (G,·) : x0=e,∀n∈N xn+1 =xn·xetx−n= (xn)−1 ; on vérifie alors : ∀(p, q)∈Z2 xp+q =xp·xq et(xp)q=xpq ;
∗ dans (G,+) : 0.x= 0,∀n∈N (n+ 1).x=n.x+xet (−n).x=−(n.x) ; on vérifie alors : ∀(p, q)∈Z2 (p+q).x=p.x+q.xet q.(p.x) = (pq).x.
Attention ! (x·y)2 = x·y·x·y n’est pas toujours égal à x2·y2 ; toutefois, si x et y commutent (c’est-à-dire six·y=y·x) alors on vérifie : ∀p∈Z (x·y)p =xp·yp.
Propriété : soit(G,·) un groupe ;∀(x, y)∈G2 (x·y)−1 =y−1·x−1.
NB : s’il n’y a pas ambiguïté sur le choix de la loi de composition interne, on parle du “groupeG”.
2) Sous-groupes
(G,·) désigne un groupe,e son élément neutre.
a) Définition
Soit H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de (G,·) si et seulement si la restriction de la loi·à H×H induit sur H une structure de groupe.
b) Caractérisations
Une partie H de Gest un sous-groupe de (G,·) si et seulement siH est non vide, stable par · et par passage au symétrique, c’est-à-dire
∀(x, y)∈H2 x·y∈H et ∀x∈H x−1 ∈H . Exemples : 1) Les sous-groupes de(Z,+)sont lesnZ ,n∈N.
2) L’ensembleU des complexes de module 1 est un sous-groupe de(C∗,×) ; pourn≥2, l’ensemble des racinesn-ièmes de 1 dansC est un sous-groupe de cardinaln de(U,×).
III
III - Structure d’anneau (complément hors programme)
1) Définition
On appelle anneau tout triplet (A,+,×), où +et× sont deux lois de composition interne surA telles que :
1) (A,+)est un groupe abélien
(ennotation additive : l’élément neutre de+est noté0,−x est l’opposé dex) ; 2) ×est associative, admet un élément neutre (souvent noté 1) ;
3) ×est distributive (à gauche et à droite) par rapport à+.
Un anneau (A,+,×) est ditcommutatif si et seulement si ×est en outre commutative.
Notations : le produit x×y de deux éléments est souvent noté x.y, voire xy ; on dispose des itérés d’un élémentx deA pour+ (lesn.x,n∈Z) et pour × (lespuissances xn,n∈N).
Six est inversible pour× (c’est-à-dire s’il existex′ élément de A tel que xx′ =x′x= 1), on dispose en outre despuissances négatives, l’inversex′ dexest notéx−1 ou encore 1
x si l’anneau est commutatif.
2) Règles de calcul dans un anneau
1) ∀x∈A 0×x=x×0 = 0, −x= (−1)×x=x×(−1).
2) ∀(x, y)∈A2 −(x×y) = (−x)×y=x×(−y), (−x)×(−y) =x×y.
3) Propriétés classiques des itérés...
4) Formule du binôme de Newton : six ety commutent (i.e. sixy =yx),
∀n∈N (x+y)n=
n
k=0 n
k .xn−kyk
5) Six ety commutent,
∀n∈N∗ xn−yn= (x−y)
n−1
k=0
xn−1−kyk
Attention ! On peuta priori avoirx×y= 0avecx ety tous les deux non nuls.
3) Anneaux intègres
Dans ce paragraphe, (A,+,×) désigne un anneau commutatif.
Définition :A est ditintègre si et seulement si
∀(x, y)∈A2 xy= 0⇒(x= 0ou y= 0)
4) Exemples
1) (Z,+,×),(K[X],+,×) sont des anneaux commutatifs intègres.
2) (F(R,R),+,×)est un anneau commutatif non intègre.
3) (Mn(K),+,×) est un anneau non commutatif, non intègre (pour n≥2).
IV
IV - Structure de corps
1) Définition
On appelle corps (commutatif) tout anneau commutatif, non réduit à {0}, dont tous les éléments non nuls sont inversibles.
2) Exemples
Q,R,Csont les “corps de nombres” classiques.
Pour tout corps K, on construit l’anneau K[X]des polynômes à coefficients dans Ket le corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients dansK(hors programme en PSI, construit à partir deK[X]de la même façon que Qest construit à partir de Z).
Remarque culturelle : il existe aussi des corps finis. Par exemple, pour p nombre premier, l’ensemble des pclasses de congruence des entiers relatifs modulo p peut être muni d’une structure de corps.
