Similitude et équivalence.

Similitude et équivalence.

L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.

SoientA, B∈ M_n(K).

AetB sont semblables dans M_n(K) si, et seulement si,XI_n−AetXI_n−B sont équivalentes dans M_n(K[X]).

Théorème 1

Pour établir ce résultat, on utilise le résultat classique suivant :

SoientA un anneau,U, V ∈A[X]avec V non nul.

Si le coefficient dominant de V est inversible dansA alors il est possible d’effectuer la division eucli- dienne à gauche et à droite deU parV.

Autrement dit,

∃!Q, R∈A[X]/ U =QV +R et deg(R)<deg(V),

et

∃!Q, R∈A[X]/ U =V Q+R et deg(R)<deg(V).

Théorème 2:Division euclidienne

Démonstration. Démontrons le Théorème 1.

” ⇐ ” : Triviale puisque si A et B sont semblables dans M_n(K) alors XI_n−A et XI_n−B sont semblables (et donc équivalentes) dans M_n(K[X]).

” ⇒ ” : SoientP, Q∈GL_n(K[X]) telles queP(XI_n−A) = (XI_n−B)Q.

CommeI_n∈ M_n(K)[X]est inversible, on peut faire la division euclidienne à droite deP parXI_n−B.

Ainsi, il existe P1 ∈ M_n(K)[X]etG∈ M_n(K) telles que P = (XIn−B)P1+G.

De même, on peut faire la division euclidienne à gauche de Q par XI_n−A. Ainsi, il existe Q₁ ∈ M_n(K)[X]etH∈ M_n(K) telles que

Q=Q₁(XI_n−A) +H.

Ainsi, on obtient

(XIn−B)P1+G)(XIn−A) = (XIn−B)(Q1(XIn−A) +H)

c’est-à-dire

(XI_n−B)(P₁−Q₁)(XI_n−A) = (XI_n−B)H−G(XI_n−A).

Par considération de degrés, on en déduit queP₁=Q₁,H=G etBH=GA.

Il reste alors à démontrer que G∈GL_n(K).

Pour cela, notonsR l’inverse deP dansM_n(K[X])et effectuons la division euclidienne à droite deR parXI_n−A. Ainsi, il existe R₁ ∈ M_n(K)[X]etK∈ M_n(K) telles que

R= (XIn−A)R1+K.

1

Ainsi,

In=P R=P(XIn−A)R1+P K= (XIn−B)Q+ (XIn−B)P1K+GK

= (XI_n−B)(Q+P₁K) +GK.

On en déduit que I_n−GK = (XI_n−B)(Q+P₁K). Par considération de degrés, on en déduit que In−GK= 0, soitG∈GLn(K).

On en déduit queXIn−AetXIn−B sont équivalentes dansM_n(K[X])si, et seulement si, elles sont semblables dansM_n(K[X]).

Remarque I

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