• Aucun résultat trouvé

et L 2 = 4πS si et seulement si γ dénit une cercle parcouru une fois.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "et L 2 = 4πS si et seulement si γ dénit une cercle parcouru une fois."

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Inégalité isopérimétrique

Zuily-Queélec, Analyse pour l'agrégation, page 103

Théorème : Soit [a, b] un intervalle compact de R et γ : [a, b] C une courbe de Jordan de classe C 1 par morceaux, de longueur L et enfermant une surface S . Alors

L 2 4πS

et L 2 = 4πS si et seulement si γ dénit une cercle parcouru une fois.

Rappels : les hypothèses signient que γ est une courbe continue fermée (i.e. γ(a) = γ(b)) sans point double (i.e. a x 1 < x 2 b et γ(x 1 ) = γ(x 2 ) impliquent que x 1 = a et x 2 = b.

La longueur L de γ est par dénition L =

Z b

a

0 (t)|dt

De plus, si γ(t) = x(t) + iy(t) , la surface S est donnée par la formule de Stokes S = 1

2 Z b

a

(x(t)y 0 (t) x 0 (t)y(t)) dt = 1 2 Im

Z b

a

γ 0 (t)γ(t)dt

Déjà, les deux membres de l'inégalité étant de même homogénéité (celle d'une surface), on peut supposer sans restriction que L = 1. On peut de plus paramétrer γ par la longueur d'arc s et on aura donc

∀s [0, 1], 0 (s)| = 1

Quitte à changer γ(s) en γ(1 s) , on peut aussi supposer que γ est orientée positivement. Puisque γ(0) = γ(1) , on peut prolonger γ en une fonction 1 -périodique continue et C 1 par morceaux, donc les coecients de Fourier c n sont donnés par

∀n Z, c n = Z 1

0

e −2iπns γ(s)ds et on a donc également pour γ 0 les coecients de Fourier :

c 0 n = 2iπnc n

Montrons que L et S s'expriment en fonction des c n par les formules

L 2 = X +∞

n=−∞

2 n 2 |c n | 2 ; S =

+∞ X

n=−∞

πn|c n | 2

En eet, la formule de Parseval donne L 2 = 1 = L =

Z 1

0

0 (s)|ds = Z 1

0

0 (s)| 2 ds = X n=−∞

2 n 2 |c n | 2 D'autre part, γ étant orientée positivement, on obtient

Z 1

0

γ 0 (s)γ(s)ds =

+∞ X

n=−∞

c 0 n c n =

+∞ X

n=−∞

2iπ|c n | 2

puis

S = 1 2 Im

à +∞

X

n=−∞

2iπ|c n | 2

!

=

+∞ X

n=−∞

πn|c n | 2

Cela étant, L 2 4πS = 4π 2 +∞ P

n=−∞ (n 2 n)|c n | 2 = somme de nombres positifs = nombre positif. De plus, n 2 n > 0 si n 6= 0, 1, donc L 2 = 4πS si et seulement si c n = 0 pour n 6= 0, 1, donc si et seulement si

∀s [0, 1], γ(s) = c 0 + c 1 e 2iπs

Mais ceci est précisément l'équation du cercle de centre c 0 et de rayon |c 1 |, parcouru une fois dans le sens positif auquel on s'est ramené.

Interprétation géométrique : À périmètre donné (L xé), c'est le cercle qui enferme la plus grande surface S ( S L

2

).

1

Références

Documents relatifs

La formulation du lycée est une forme condensée qui ne doit pas faire oublier qu’il s’agit en fait de deux énoncés (énoncé direct et énoncé réciproque). Cela est fondamental

Ils sont donc dans la boule unit´ e ouverte, et comme f est clairement de classe C 1 les d´ eriv´ ees partielles doivent s’annuler en ces points... On munit R 3 du produit scalaire

[r]

Démontrer que la droite IG e coupe le cercle (Γ) au point A 0 diamétralement opposé à A dans (Γ) si et seulement si le triangle est rectangle en A ou isocèle de sommet A. Solution

[r]

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si −→. AB

[r]

[r]