Pour et éléments de , on pose , ce qui définit sur un produit scalaire dont la norme associée est notée (on rappelle que

MATHÉMATIQUES I

Définitions et notations

On note l’espace vectoriel réel des fonctions définies et conti- nues dans l’intervalle à valeurs réelles.

Pour et éléments de , on pose , ce qui définit sur un produit scalaire dont la norme associée est notée (on rappelle que

) et munit d’une structure d’espace préhilbertien réel.

On dit qu’une suite d’éléments de est orthonormale si elle véri- fie la condition

,

Soit une suite orthonormale de .

1) Si , on désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par , par l’opérateur de projection orthogonale de sur et

enfin par la distance de à .

2) On désigne par le sous-espace vectoriel de réunion des ;

par définition est égal à l’ensemble des éléments de qui sont combinaisons linéaires finies d’éléments de la famille, c’est-à-dire qui s’écrivent sous la forme , où sont des entiers distincts et des coeffi- cients réels.

3) On dit que la suite orthonormale est totale dans si pour tout élément de il existe une suite d’éléments de convergeant vers .

E = C ⁰ ( [ 0 1 , ] , IR ) 0 1 , [ ]

f g E ( f g ) f t ( ) g t ( ) d t

0

∫ 1

= E

f = ( f f ) E

Φ = ( Φ _n ) _{n ∈ IN} E

m n ,

( )

∀ ∈ IN ² ( Φ _m Φ _n ) δ _{m n ,} 0 si m ≠ n 1 si m = n

 

= = 

Φ E

n ∈ IN V _Φ ⁿ E

Φ _j 0 ≤ ≤ j n

{ } ∏ _Φ ^{n E V Φ n}

d _Φ ⁿ ( ) f f ∈ C ⁰ ( [ 0 1 , ] , IR ) V _Φ ⁿ

V _Φ E V _Φ ⁿ

V _Φ V _Φ ⁿ

n ∪ ∈ IN

=

V _Φ E

λ _i Φ _j

1 ≤ ≤ ∑ i p ^{j 1 , , j 2 … , j p λ 1 , , , λ 2 … λ p}

Φ E

f E ( ) f _{n IN} V _Φ f

Filière PSI

Enfin pour et , on pose ;

et on note et .

La partie IV est largement indépendante des trois parties précédentes.

Partie I - Généralités sur les suites orthonormales

I.A - Montrer que et sont des suites orthonormales de . I.B - Soit une suite orthonormale de , et .

I.B.1) Établir la formule .

I.B.2) Calculer

I.B.3) Expliciter dans la base .

En déduire que la série de terme général est convergente et que

I.C - On suppose toujours que est une suite orthonormale de .

I.C.1) Soit une suite d’éléments de , convergeant dans et soit .

a) Montrer que pour donné, on peut trouver tel que n ∈ IN x ∈ [ 0 1 , ]

C _n ( ) x 1 si n = 0 2 cos ( n π x ) si n > 0

 

=  S _n ( ) x = 2 sin ( ( n + 1 )π x )

C = ( C _n ) _{n ∈ IN} S = ( S _n ) _{n ∈ IN}

C S E

Φ E n ∈ IN f ∈ E

f ^{2 =} ∏ _Φ ⁿ ( ) f ^{2 + [ d Φ n ( ) f ] 2}

sup

f = 1

( ) f

Φ

∏ n

( ) f

Φ

∏ n ^{{ Φ j 0 ≤ ≤ j n }}

f Φ _k ( ) ² f Φ _k

( ) ² ≤ f ²

k = 0

∑ +∞

Φ E

f _k

( ) _{k ∈ IN} V _Φ E

f ( ) f _k

k lim → ∞

=

k ∈ IN N ∈ IN

n ∈ IN

∀

( ) , n ^≥ N ^⇒ _ ^{ } f ^– ∏ _Φ ⁿ ( ) f ^{= f – f k +} ∏ Φ n ^{( f k – f )} _ ^{ }

b) En déduire que .

I.C.2) Démontrer alors l’équivalence entre les deux propositions suivantes : i) est totale dans .

ii) , .

I.C.3) On suppose de plus dans cette question seulement que est totale dans .

Pour et expliciter et à l’aide des . I.D - Étude de la suite .

I.D.1) Soit . Montrer qu’il existe une unique fonction continue paire périodique et de période 2 notée telle que sa restriction à soit égale à . I.D.2) Montrer alors que la suite définie dans le préambule est totale dans

. On pourra introduire les coefficient de Fourier de la fonction -périodique définie par , la fonction étant celle de la question précédente.

I.D.3) Exhiber une suite orthonormale de non totale dans .

Partie II - Fonctions lipschitziennes

On note un intervalle de non vide et non réduit à un point. Une fonction définie dans et à valeurs réelles est dite lipschitzienne dans si elle vérifie la condition :

,

On notera l’ensemble de toutes les fonctions réelles définies et lipschit- ziennes dans .

II.A - Propriétés élémentaires.

II.A.1) Vérifier que est un sous-espace vectoriel de .

Le produit de deux éléments de est-il encore un élément de ? si justifier l’existence du réel défini par

Ce réel sera appelé la constante de Lipschitz de . ( ) f

Φ

∏ n ^{– f}

n lim → +∞ = 0

Φ E

∀ f ∈ E _n ^lim _{→ +∞} ∏ _Φ ⁿ ( ) f ^{– f = 0}

Φ E

f ∈ E n ∈ IN f ² [ d _Φ ⁿ ( ) f ] ² ( f Φ _k ) C

f ∈ E

f ˜ [ , ] 0 1 f

C

E 2π

h h x ( ) f ˜ x π ---

   

= f ˜

E E

I IR f

I I

∃ C ∈ IR ₊ ^* , ( ( , ) ∀ x y ∈ I ² ) f x ( ) – f y ( ) ≤ C x – y Lip ( , I IR )

I

Lip ( , I IR ) C ⁰ ( , I IR )

Lip ( , I IR ) Lip ( , I IR )

f ∈ Lip ( , I IR ) k f ( )

k f ( ) sup ^{f x ( ) – f y ( )} x – y

--- ( , ) x y ∈ I ² , x ≠ y

 

 

 

=

f

II.A.2) Si est un intervalle compact de , vérifier que est une sous-algèbre de . Exhiber une fonction définie et continue sur mais non lipschitzienne sur ce même intervalle.

II.B - Soit une fonction de classe sur .

Montrer que est lipschitzienne sur si et seulement si est bornée sur . Exprimer dans ce cas la constante de Lipschitz à l’aide de .

II.C - Soit une suite d’éléments de qui converge simplement sur vers une fonction . On suppose de plus que l’ensemble des

est borné.

Montrer que .

II.D - Soit telle que .

II.D.1) Montrer qu’il existe telle que : et

II.D.2) Pour et on pose .

Montrer que est de classe sur à dérivée bornée par 1.

Montrer que la suite converge uniformément sur vers .

II.E - Dans les deux dernières questions de cette partie les suites et sont celles définies dans le préambule.

Soit .

II.E.1) Pour , calculer en fonction de .

II.E.2) Montrer que la série de terme général est convergente et que

II.F - Soit .

II.F.1) Montrer que la série de terme général est convergente et que

II.F.2) En déduire alors que , .

I IR Lip ( , I IR )

C ⁰ ( , I IR ) [ 0 1 , ]

f C ¹ I

f ′ I f ′ I

f ′ f _n

( ) _{n ∈ IN} Lip ( , I IR )

I f { k f ( ) _n n ∈ IN }

f ∈ Lip ( , I IR )

g ∈ Lip ( [ , ] 0 1 , IR ) k g ( ) ≤ 1

g ) ∈ Lip ( IR IR , ) k g ( ) ) ≤ 1

∀ x ∈ [ , ] 0 1 g x ) ( ) = g x ( )

n ∈ IN* x ∈ IR g _n ( ) x n g

x x 1

n ---

∫ + ^{( )dt t}

= )

g _n C ¹ IR

g _n IR g )

S C

f ∈ C ¹ ( [ , ] 0 1 , IR )

n ∈ IN ^* ( f C _n ) ( f ′ S _{n – 1} ) n ² ( f C _n ) ²

n ² ( f C _n ) ² 1 π ² --- f ′ ²

≤

n = 1 +∞ ∑

f ∈ Lip ( [ , ] 0 1 , IR )

n ² ( f C _n ) ²

n ² ( f C _n ) ² 1 π ² ---k f ( ) ²

≤

n = 1 +∞ ∑

∀ n ∈ IN* d _c ^{n – 1} ( ) f 1 n π --- k f ( )

≤

Partie III - Constantes de Lipschitz d’une suite orthonormale

L’objectif est de montrer que la suite des constantes de Lipschitz des éléments d’une suite orthonormale de est toujours minorée par une suite de la forme où est une constante positive indépendante de la suite choisie dans .

III.A - Soient et deux suites orthonormales de . Montrer que

et en déduire que

III.B - On donne maintenant une suite orthonormale de . On suppose de plus que toutes les fonctions sont lipschitziennes dans . III.B.1) Montrer que

III.B.2) Montrer que la suite est non bornée.

III.B.3) Montrer que .

III.B.4) Trouver la valeur de .

III.B.5) Montrer qu’il existe un réel vérifiant la propriété suivante : pour toute suite orthonormale de fonctions lipschitziennes sur telle que la suite soit une suite croissante, on a

,

Ce résultat est dû à W. Rudin (1952).

E Γn

( ) _{n ∈ IN} Γ E

Φ = ( Φ _n )

n ∈ IN Ψ = ( Ψ _n ) _{n ∈ IN} E

∀ m IN n IN ^* n d _Φ ^{n – 1} ( Ψ _j ) ² ≥ m + 1

j = 0

∑ m

+

∈ ,

∀

∈ ,

n IN ^* d _Φ ^{n – 1} ( Ψ _j ) ²

j = 0 2n – 1

∑ ^{≥ n}

∈ ,

∀

Φ = ( Φ _n )

n ∈ IN E

Φ _n [ , ] 0 1

n 1 k ( Ψ _j ) ²

j = 0 2n – 1

∑ ^{≥ π 2 n 3}

≥ ,

∀

k ( Ψ _j ) ( ) _{j ∈ IN} k ( Ψ _n )

n lim → +∞ = + ∞ k C ( _n )

Γ > 0

Ψ = ( Ψ _n ) _{n ∈ IN} [ , ] 0 1

k ( Ψ _j ) ( ) _{j ∈ IN}

∀ n ∈ IN k ( Ψ _n ) Γn ≥

Partie IV - Constantes de Lipschitz des polynômes de Legendre

Le but de cette dernière partie est le calcul des constantes de Lipschitz d’une suite orthonormale d’éléments de constituée de polynômes.

Pour et on note :

La notation représente la dérivée -ième de la fonction . On démontre, et on admettra, que l’on a :

IV.A - Montrer qu’il existe une unique suite de réels tous strictement positifs notée telle que la suite d’éléments de définie par

, , est une suite orthonormale de .

Donner la valeur de pour chaque .

Dans la suite, la notation désigne l’élément ainsi calculé.

IV.B -

IV.B.1) Soit donné. Montrer que la suite est décroissante.

IV.B.2) Montrer que la suite définie ci-dessus est totale dans . Pour cela on pourra montrer que la suite tend vers quand en appliquant le théorème de Weierstrass à la fonction donnée.

IV.B.3) Déterminer toutes les suites orthonormales de possédant la propriété suivante :

, est une fonction polynomiale de degré E

n ∈ IN x ∈ IR

U _n ( ) x = ( x ² – 1 ) ⁿ , P _n = U _n ^{( ) n} , L _n 1 2 ⁿ n!

--- P _n

=

f ^{( ) n} n f

m n ,

( )

∀ IN ² P _m ( ) x P _n ( ) x d x

– 1

∫ 1

∈ , 0 si m ≠ n

2 ^{2n + 1} ( ) n! ² 2n + 1

--- si m = n

 

 

 



=

α _n

( ) _{n ∈ IN} Q = ( Q _n )

n ∈ IN E

∀ n ∈ IN ∀ n ∈ IR Q _n ( ) x = α _n L _n ( 2x – 1 ) E

α _n n ∈ IN

Q _n

f ∈ E ( d _Q ⁿ ( ) f ) _{n ∈ IN}

Q E

d _Q ⁿ ( ) f

( ) _{n ∈ IN} 0 n → +∞

f ∈ E Φ _n

( ) _{n ∈ IN} E

∀ n ∈ IN Φ _n n

IV.C - Montrer que

, ,

IV.D - Soient . On désigne par le nombre complexe de module 1 et d’argument .

La lettre désigne une variable réelle.

IV.D.1) Démontrer que si alors .

On pourra remarquer que

IV.D.2) Établir que

Quelles sont les valeurs de telles que ? IV.E -

IV.E.1) En remarquant que , montrer que

, IV.E.2) Prouver que

, ,

IV.F - Calculer enfin la valeur pour .

••• FIN •••

∀ n ∈ IN ∀ n ∈ IR P _n ( ) x n! ( C _n ^k ) ² ( x – 1 ) ^k ( x + 1 ) ^{n – k}

k = 0 k = n

∑

=

n x

( , ) ∈ IN × IR i

π ⁄ 2 θ

x ≤ 1 L _n ( ) x 1 2 π

--- ( x + i 1 – x ² cos θ )

n d θ

- π

∫ + π

=

x + i 1 – x ² cos θ 1 + x

--- 2 i 1 – x --- 2 + e ^{i θ}

 

  1 + x

--- 2 i 1 – x --- 2 e ^{– i θ}

 + 

 

=

max

x ∈ [ – 1 +1 , ] L _n ( ) x = 1

x ∈ [ – 1 , +1 ] L _n ( ) x = 1

x ² – 1

( ) U ′ _n ( ) x = 2nxU _n ( ) x

∀ n ∈ IN ( 1 – x ² ) P ″ _n ( ) x – 2xP ′ _n ( ) x + n n ( + 1 ) P _n ( ) x = 0

∀ x ∈ IR ∀ n ∈ IN L ′ _{n + 1} ( ) x = xL ′ _n ( ) x + ( n + 1 ) L _n ( ) x

k Q ( _n ) n ∈ IN