L'espaceRn est muni du produit scalaire et de la norme euclidienne canoniques et est identié à son dual

M1 MIDO, Université Paris-Dauphine 23 Mars 2015 Examen d'analyse convexe approfondie

La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation. L'exercice et chacune des deux parties du problèmes peuvent être traités séparément.

L'espaceRⁿ est muni du produit scalaire et de la norme euclidienne canoniques et est identié à son dual. Le sous-diérentiel d'une fonction f :Rⁿ →R est considéré comme un sous-ensemble de Rⁿ, et la transformée de Legendre-Fenchel de f comme une fonction sur Rⁿ.

Problème. On s'intéresse au problème de minimisation suivant : p:= inf

x∈Rⁿ

F(Ax) +G(x) (P)

où A : Rⁿ → R^m est une application linéaire et F : R^m → R et G : Rⁿ → R sont convexes continues et minorées. Pour rappel, l'application linéaire A^∗ :R^m → Rⁿ est caractérisée par la condition hAx|yi=hx|A^∗yi pour tout (x, y)∈Rⁿ×R^m.

Dualité faible Dans cette partie, on utilise l'approche lagrangienne pour retrouver le problème dual de Fenchel-Rockafellar de (P).

1. Justier les égalités suivantes p= inf

x∈Rⁿ,y∈R^m Ax=y

F(y) +G(x) = inf

x∈Rⁿ,y∈R^m

sup

z∈R^m

F(y) +G(x) +hAx−y|zi

2. Montrer l'inégalité de dualité faible p≥doù dest déni par d:= sup

z∈R^m

x∈Rⁿinf,y∈R^m

F(y) +G(x) +hAx−y|zi. (D) 3. Montrer que

x∈Rⁿinf,y∈R^m

F(y) +G(x) +hAx−y|zi=−F^∗(z)−G^∗(−A^∗z)

et en déduire l'expression suivante du problème dual : d= sup

z∈R^m

−F^∗(z)−G^∗(−A^∗z). (D') Dualité forte On suppose désormais que G : Rⁿ → R est strictement convexe, de classe C¹, et quelim_kxk→∞G(x) = +∞.

4. Montrer l'unicité du minimiseur x¯ pour le problème (P) (on admettra l'existence).

5. SoitH =F◦A etp∈∂(H+G)(x). Montrer que

H(x)−H(x0)≥ hp|x−x0i+G(x0)−G(x),

puis que pour toutv∈Rⁿ, H⁺(x;v)≥ hp− ∇G(x)|vi. En déduire quep− ∇G(x)∈∂H(x). 1

6. On admet que ∂H(x) =∂(F ◦A)(x) =A^∗∂F(Ax). Déduire de la question précédente quex¯ est le minimiseur de (P) si et seulement si il existez¯∈∂F(A¯x)tel que A^∗z¯+∇G(¯x) = 0. 7. Soient (¯x,z)¯ comme dans la question précédente. Montrer les deux égalités

F(A¯x) +F^∗(¯z) =hA¯x|¯zi G(¯x) +G^∗(−A^∗z) =¯ −hx|A¯ ^∗zi.¯ En déduire la relation de dualité forted=pet que z¯est un maximiseur de (D').

8. Le but de cette question est de montrer que le minimiseurx¯de (P) peut être retrouvé à partir de n'importe quel maximiseurz0 de (D').

(a) Soitz₀ un maximiseur de (D'). Montrer

F(A¯x) +F^∗(z0)≥ hAx|z¯ ₀i G(¯x) +G^∗(−A^∗z0)≥ −h¯x|A^∗z0i.

Montrer que ces deux égalités doivent être des égalités, en déduire que −A^∗z0∈∂G(¯x).

(Indication : supposer qu'une des inégalités est stricte, obtenir une contradiction àp=d).

(b) Soient x₀, x₁ ∈ Rⁿ tels que g = ∇G(x₀) = ∇G(x₁). En appliquant Fenchel-Young aux couples(x0, g),(x1, g)et(¹₂(x1+x2), g), montrer queG(¹₂(x0+x1)) = ¹₂(G(x0) +G(x1)).

En déduire que x∈Rⁿ7→ ∇G(x) est injective, puis quex¯=∇G⁻¹(−A^∗z0).

9. Application : Donner l'expression du problème dual (D') lorsque G(x) = ¹₂kx−x0k² où k.k est la norme euclidienne surRⁿ. Quelle est la relation entrex¯ et un maximiseur z₀ de (D') ? Exercice. SoitΩun ouvert borné deRⁿ etu, v:Rⁿ→Rdeux fonctions convexes telles que¹

(u|_{bd Ω}= v|_{bd Ω} v≥u surΩ.

1. Soitf :Rⁿ→R convexe etx0∈Ω. Soit p un vecteur deRⁿtel que

∀x∈Ω, f(x)≥f(x₀) +hx−x₀|pi.

Montrer quef⁺(x₀;·)≥ hp|·i, et en déduirep∈∂f(x₀).

2. Soitx₀∈Ωetp∈∂v(x₀) et soit a= sup_x∈Ω(v(x₀) +hx−x₀|pi)−u(x). (i) Montrer que a≥0.

(ii) Montrer que si a= 0 alorsp∈∂u(x0).

(iii) On suppose désormais que a >0. Montrer que le supremum dans la dénition dea est atteint en un point x₁ ∈Ω, puis que x₁ n'est pas dansbd Ω.

(Indication : montrer que x₁ ∈bd Ω contredit l'hypothèse p∈∂v(x₀)).

(iv) Montrer que

∀x∈Ω, u(x)≥u(x1) +hx−x1|pi Déduire des questions précédentes quep∈∂u(x1).

3. Conclure :∂v(Ω)⊆∂u(Ω), où l'on a noté ∂u(Ω) :=S

x∈Ω∂u(x).

1. On note bd Ω le bord topologique de Ω an de ne pas indroduire de confusion avec la notation pour le sous-diérentiel.

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