Probl` eme Soit Ω un ouvert born´ e r´ egulier de IR 3 de bord ∂Ω.

(1)

Examen de Calcul Scientifique et Optimisation , janvier 2011 Cours non autoris´ e

Probl` eme Soit Ω un ouvert born´ e r´ egulier de IR ³ de bord ∂Ω.

On fixe f ∈ (L ² (Ω)) ³ , λ ∈ L ² (Ω), ρ > 0. Pour u ∈ (H ¹ (Ω)) ³ , on pose : J (u) = 1

2 Z

Ω

ρ|u| ² + |∇u| ² dx − Z

Ω

f · u dx. (1)

Dans tout le probl` eme, on note K l’ensemble

K = {u ∈ (H ¹ (Ω)) ³ / div u = λ}.

On d´ esigne par k.k indiff´ eremment la norme de L ² (Ω) et (L ² (Ω)) ³ . L’objectif de ce probl` eme est de caract´ eriser le minimum du probl` eme inf K J puis de l’approcher.

I. Probl` eme approch´ e par p´ enalisation

Soit ε > 0. Pour u ∈ (H ¹ (Ω)) ³ , on pose :

J _ε (u) = J (u) + 1 2ε

Z

Ω

| div u − λ| ² dx (2)

1. Justifier rapidement que J ε est continue sur (H ¹ (Ω)) ³ et strictement convexe.

2. En d´ eduire que J ε admet un unique minimum sur (H ¹ (Ω)) ³ . 3. Caract´ eriser le minimum (ie donner l’´ equation d’Euler).

Dans ce qui suit, on note u ε l’unique minimum de J ε sur (H ¹ (Ω)) ³ . II. Passage ` a la limite ε → 0.

4. Montrer que la famille (u ε ) 1>ε>0 est born´ ee dans (H ¹ (Ω)) ³ , uniform´ ement par rapport ` a ε ∈]0, 1[.

5. Montrer que pour une sous-suite div u ε tend fortement vers λ dans (L ² (Ω)) ³ .

6. Soit π ε = ¹ _ε ( div u ε − λ). Montrer que (∇π _ε ) ε est born´ ee dans le dual de (H ¹ (Ω)) ³ . En d´ eduire que (π ε ) ε est born´ ee dans ˙ L ² (Ω) en admettant que

∃c > 0, ∀q ∈ L ² (Ω) ³ , ( Z

Ω

|q| ² dx)

¹²

≤ c|

Z

Ω

q dx| + ck∇qk _H

⁻¹

_(Ω) .

7. En d´ eduire l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles v´ erifi´ ee par u et π les limites d’une sous-suite des suites (u _ε ) _ε et (π _ε ) _ε . Pr´ eciser la condition limite en u.

8. Montrer que u est solution du probl` eme de minimisation inf K J.

9. Montrer que u, solution du probl` eme de minimisation inf K J, est unique.

1

(2)

III. Algorithme

On cherche un algorithme destin´ e ` a converger vers le point (u, π) caract´ eris´ e ci-dessus.

On consid` ere l’algorithme suivant :

1. On choisit π 0 ∈ (H ¹ (Ω)) ³ quelconque.

2. Connaissant π _n , on trouve u _n+1 ∈ (H ¹ (Ω)) ³ qui minimise u 7→ J (u)+ < ∇π _n , u > _H

⁻¹

_,H

1

sur (H ¹ (Ω)) ³ .

3. On d´ efinit π _n+1 qui minimise p 7→ G _n (p) sur H ¹ (Ω) o` u G _n (p) = 1

2 Z

Ω

|p − π _n | ² + ρ|∇(p − π _n )| ² dx + α Z

Ω

( div u _n+1 − λ)p dx, avec α > 0.

10. V´ erifier que l’algorithme est bien d´ efini et ´ ecrire les ´ equations d’Euler.

11. En ´ ecrivant les ´ equations v´ erifi´ ees par v _n = u _n − u et q _n = π _n − π, montrer que kq _n+1 k ² − kq _n k ² + ρ(k∇q _n+1 k ² − k∇q _n k ² ) + α

Z

Ω

div v _n+1 (q _n+1 − q _n + 2q _n ) dx = 0.

12. Montrer que

ρkv _n+1 k ² + k∇v _n+1 k ² = Z

Ω

div v n+1 q n dx.

13. Montrer que

−α Z

Ω

div v n+1 (q n+1 − q n ) dx = kq _n+1 − q n k ² + ρk∇(q _n+1 − q n )k ² . En d´ eduire que

kq _n+1 − q _n k ² + ρk∇(q _n+1 − q _n )k ² ≤ αkv _n+1 kk∇(q _n+1 − q _n )k et que

kq _n+1 − q _n k ² + ρk∇(q _n+1 − q _n )k ² ≤ α ²

ρ kv _n+1 k ² .

14. D´ eduire des deux derni` eres questions que α

Z

Ω

div v _n+1 (q _n+1 − q _n + 2q _n ) dx ≥ (2αρ − α ²

ρ )kv _n+1 k ² + 2αk∇v _n+1 k ² .

15. A l’aide des questions pr´ ec´ edentes, ´ etablir une condition de petitesse sur α assurant la d´ ecroissante de la suite (kq _n k ² + ρk∇q _n k ² ) n .

16. En d´ eduire la convergence de la suite (v n ) n , puis celle de (q n ) n . Conclure.

2

Probl` eme Soit Ω un ouvert born´ e r´ egulier de IR 3 de bord ∂Ω.

Examen de Calcul Scientifique et Optimisation , janvier 2011 Cours non autoris´ e

Probl` eme Soit Ω un ouvert born´ e r´ egulier de IR 3 de bord ∂Ω.

On fixe f ∈ (L 2 (Ω)) 3 , λ ∈ L 2 (Ω), ρ > 0. Pour u ∈ (H 1 (Ω)) 3 , on pose : J (u) = 1

2 Z

Ω

ρ|u| 2 + |∇u| 2 dx − Z

Ω

f · u dx. (1)

Dans tout le probl` eme, on note K l’ensemble

K = {u ∈ (H 1 (Ω)) 3 / div u = λ}.

On d´ esigne par k.k indiff´ eremment la norme de L 2 (Ω) et (L 2 (Ω)) 3 . L’objectif de ce probl` eme est de caract´ eriser le minimum du probl` eme inf K J puis de l’approcher.

I. Probl` eme approch´ e par p´ enalisation

Soit ε > 0. Pour u ∈ (H 1 (Ω)) 3 , on pose :

J ε (u) = J (u) + 1 2ε

Z

Ω

| div u − λ| 2 dx (2)

1. Justifier rapidement que J ε est continue sur (H 1 (Ω)) 3 et strictement convexe.

2. En d´ eduire que J ε admet un unique minimum sur (H 1 (Ω)) 3 . 3. Caract´ eriser le minimum (ie donner l’´ equation d’Euler).

Dans ce qui suit, on note u ε l’unique minimum de J ε sur (H 1 (Ω)) 3 . II. Passage ` a la limite ε → 0.

4. Montrer que la famille (u ε ) 1>ε>0 est born´ ee dans (H 1 (Ω)) 3 , uniform´ ement par rapport ` a ε ∈]0, 1[.

5. Montrer que pour une sous-suite div u ε tend fortement vers λ dans (L 2 (Ω)) 3 .

6. Soit π ε = 1 ε ( div u ε − λ). Montrer que (∇π ε ) ε est born´ ee dans le dual de (H 1 (Ω)) 3 . En d´ eduire que (π ε ) ε est born´ ee dans ˙ L 2 (Ω) en admettant que

∃c > 0, ∀q ∈ L 2 (Ω) 3 , ( Z

Ω

|q| 2 dx)

≤ c|

Z

Ω

q dx| + ck∇qk H

(Ω) .

7. En d´ eduire l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles v´ erifi´ ee par u et π les limites d’une sous-suite des suites (u ε ) ε et (π ε ) ε . Pr´ eciser la condition limite en u.

8. Montrer que u est solution du probl` eme de minimisation inf K J.

9. Montrer que u, solution du probl` eme de minimisation inf K J, est unique.

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III. Algorithme

On cherche un algorithme destin´ e ` a converger vers le point (u, π) caract´ eris´ e ci-dessus.

On consid` ere l’algorithme suivant :

1. On choisit π 0 ∈ (H 1 (Ω)) 3 quelconque.

2. Connaissant π n , on trouve u n+1 ∈ (H 1 (Ω)) 3 qui minimise u 7→ J (u)+ < ∇π n , u > H

,H

sur (H 1 (Ω)) 3 .

3. On d´ efinit π n+1 qui minimise p 7→ G n (p) sur H 1 (Ω) o` u G n (p) = 1

2 Z

Ω

|p − π n | 2 + ρ|∇(p − π n )| 2 dx + α Z

Ω

( div u n+1 − λ)p dx, avec α > 0.

10. V´ erifier que l’algorithme est bien d´ efini et ´ ecrire les ´ equations d’Euler.

11. En ´ ecrivant les ´ equations v´ erifi´ ees par v n = u n − u et q n = π n − π, montrer que kq n+1 k 2 − kq n k 2 + ρ(k∇q n+1 k 2 − k∇q n k 2 ) + α

Z

Ω

div v n+1 (q n+1 − q n + 2q n ) dx = 0.

12. Montrer que

ρkv n+1 k 2 + k∇v n+1 k 2 = Z

Ω

div v n+1 q n dx.

13. Montrer que

−α Z

Ω

div v n+1 (q n+1 − q n ) dx = kq n+1 − q n k 2 + ρk∇(q n+1 − q n )k 2 . En d´ eduire que

kq n+1 − q n k 2 + ρk∇(q n+1 − q n )k 2 ≤ αkv n+1 kk∇(q n+1 − q n )k et que

kq n+1 − q n k 2 + ρk∇(q n+1 − q n )k 2 ≤ α 2

ρ kv n+1 k 2 .

14. D´ eduire des deux derni` eres questions que α

Z

Ω

div v n+1 (q n+1 − q n + 2q n ) dx ≥ (2αρ − α 2

ρ )kv n+1 k 2 + 2αk∇v n+1 k 2 .

15. A l’aide des questions pr´ ec´ edentes, ´ etablir une condition de petitesse sur α assurant la d´ ecroissante de la suite (kq n k 2 + ρk∇q n k 2 ) n .

16. En d´ eduire la convergence de la suite (v n ) n , puis celle de (q n ) n . Conclure.

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Probl` eme Soit Ω un ouvert born´ e r´ egulier de IR ³ de bord ∂Ω.

On fixe f ∈ (L ² (Ω)) ³ , λ ∈ L ² (Ω), ρ > 0. Pour u ∈ (H ¹ (Ω)) ³ , on pose : J (u) = 1

ρ|u| ² + |∇u| ² dx − Z

K = {u ∈ (H ¹ (Ω)) ³ / div u = λ}.

On d´ esigne par k.k indiff´ eremment la norme de L ² (Ω) et (L ² (Ω)) ³ . L’objectif de ce probl` eme est de caract´ eriser le minimum du probl` eme inf K J puis de l’approcher.

Soit ε > 0. Pour u ∈ (H ¹ (Ω)) ³ , on pose :

J _ε (u) = J (u) + 1 2ε

| div u − λ| ² dx (2)

1. Justifier rapidement que J ε est continue sur (H ¹ (Ω)) ³ et strictement convexe.

2. En d´ eduire que J ε admet un unique minimum sur (H ¹ (Ω)) ³ . 3. Caract´ eriser le minimum (ie donner l’´ equation d’Euler).

Dans ce qui suit, on note u ε l’unique minimum de J ε sur (H ¹ (Ω)) ³ . II. Passage ` a la limite ε → 0.

4. Montrer que la famille (u ε ) 1>ε>0 est born´ ee dans (H ¹ (Ω)) ³ , uniform´ ement par rapport ` a ε ∈]0, 1[.

5. Montrer que pour une sous-suite div u ε tend fortement vers λ dans (L ² (Ω)) ³ .

6. Soit π ε = ¹ _ε ( div u ε − λ). Montrer que (∇π _ε ) ε est born´ ee dans le dual de (H ¹ (Ω)) ³ . En d´ eduire que (π ε ) ε est born´ ee dans ˙ L ² (Ω) en admettant que

∃c > 0, ∀q ∈ L ² (Ω) ³ , ( Z

|q| ² dx)

q dx| + ck∇qk _H

_(Ω) .

7. En d´ eduire l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles v´ erifi´ ee par u et π les limites d’une sous-suite des suites (u _ε ) _ε et (π _ε ) _ε . Pr´ eciser la condition limite en u.

1. On choisit π 0 ∈ (H ¹ (Ω)) ³ quelconque.

2. Connaissant π _n , on trouve u _n+1 ∈ (H ¹ (Ω)) ³ qui minimise u 7→ J (u)+ < ∇π _n , u > _H

_,H

sur (H ¹ (Ω)) ³ .

3. On d´ efinit π _n+1 qui minimise p 7→ G _n (p) sur H ¹ (Ω) o` u G _n (p) = 1

|p − π _n | ² + ρ|∇(p − π _n )| ² dx + α Z

( div u _n+1 − λ)p dx, avec α > 0.

11. En ´ ecrivant les ´ equations v´ erifi´ ees par v _n = u _n − u et q _n = π _n − π, montrer que kq _n+1 k ² − kq _n k ² + ρ(k∇q _n+1 k ² − k∇q _n k ² ) + α

div v _n+1 (q _n+1 − q _n + 2q _n ) dx = 0.

ρkv _n+1 k ² + k∇v _n+1 k ² = Z

div v n+1 (q n+1 − q n ) dx = kq _n+1 − q n k ² + ρk∇(q _n+1 − q n )k ² . En d´ eduire que

kq _n+1 − q _n k ² + ρk∇(q _n+1 − q _n )k ² ≤ αkv _n+1 kk∇(q _n+1 − q _n )k et que

kq _n+1 − q _n k ² + ρk∇(q _n+1 − q _n )k ² ≤ α ²

ρ kv _n+1 k ² .

div v _n+1 (q _n+1 − q _n + 2q _n ) dx ≥ (2αρ − α ²

ρ )kv _n+1 k ² + 2αk∇v _n+1 k ² .

15. A l’aide des questions pr´ ec´ edentes, ´ etablir une condition de petitesse sur α assurant la d´ ecroissante de la suite (kq _n k ² + ρk∇q _n k ² ) n .