Le probl`eme du cube
Un cube est pos´e sur une table, en contact par un sommet. Les distances des sommets `a la table sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Quelle est la longeur des cot´es du cube ?
R´eponse : La longueur des cot´es du cube est ´egale `a √
21∼4.5826.
Si l’on attribue ces cotes (distances `a la table) aux sommets d’un cube, elles doivent v´erifier de nombreuses propri´et´es. La principale (dont les autres d´ecoulent) est la suivante : Pour deux arˆetes parall`eles, la diff´erence de cotes entre les extr´emit´es est la mˆeme (pour une orientation identique).
NotonsA le sommet du cube en contact avec la table, donc de cote 0. Siα, β, γ sont les cotes des extr´emit´es des arˆetes issues deA, on a forc´ementα+β+γ≤7. En effet, on peut aller deA au sommet oppos´e (not´eH sur la figure) en suivant un chemin constitu´e de 3 arˆetes parall`eles
`
a ces 3 arˆetes issues de A et la cote du point oppos´e `a A ne peut d´epasser 7. A permutation pr´es, il n’y a donc que deux possibilit´es pour (α, β, γ) : soit (1,2,3), soit (1,2,4). La premi`ere n’est pas possible car si deux sommets extr´emit´es d’une arˆete issue deA ont les cotes 1 et 2, le quatri`eme point de la face correspondante (not´eD sur la figure) aura forc´ement la cote 3, et il n’est pas reli´e `aA par une arˆete...
Ainsi les points aux extr´emit´es des arˆetes issues de A ont les cotes 1, 2 et 4, et le point (H) oppos´e `aA a la cote 7. A partir de la face (ABCD) contenant les points de cote 0, 1, 2, 3, les cotes des points de la face oppos´ee se d´eduisent en ajoutant 4.
En conclusion, `a permutation pr`es des arˆetes issues de A, il n’y a qu’une configu- ration possible pour les cotes des sommets du cube.
A,0 B,1
C,2 D,3
E,4 F,5
G,6 H,7
C1,1 E1,1
Premi`ere preuve
Notonsc la longueur des cot´es du cube (`a d´eterminer).
Le plan de cote 1 passe par B, par C1 (au milieu de l’arˆete AC) et parE1 (au quart de l’arˆete AE). Consid´erons le t´etra`edre ABC1E1. On peut calculer son volume de 2 fa¸cons.
1) L’aire de la base ABC1 ´etant c2/4 et la hauteur valantc/4, le volume est ´egal `ac3/48.
2) Consid´erons maintenant la base BC1E1. On a BC1 = c√
5/2, BE1 = c√
17/4 et E1C1 = c√
5/4. On peut calculer son aire `a l’aide de la formule de H´eron (si un triangle a pour cot´es 1
a, b, c et pour demi-p´erim`etre p, son aire est ´egale `a p
p(p−a)(p−b)(p−c) ). En posant r= (√
17 + 3√
5)/2, le demi-p´erim`etre du triangleBC1E1 vautp=c r/4. Son aire vaut donc : c2
q
r(r−√
17)(r−√
5)(r−2√
5)/16. Comme la hauteur issue deAest ´egale `a 1, son volume est ´egal `ac2
q
r(r−√
17)(r−√
5)(r−2√
5)/48.
En ´ecrivant l’´egalit´e de ces deux expressions du volume et en simplifiant par c2, on obtient : c=
q
r(r−√
17)(r−√
5)(r−2√
5)∼4.5826.
Deuxi`eme preuve
Pour uncdonn´e (le cot´e du cube), on va construire les sommetsAde cote 0,B de cote 1,C de cote 2 et E et on choisira ensuite c de sorte que la cote de E soit ´egale `a 4. On se place dans le syst`eme d’axes orthogonaux Oxyz tel que Oxyco¨ıncide avec le plan de la table.
On peut poser A= (0,0,0).
Comme le sommet B = (b1, b2, b3) se trouve dans le plan de cote 1 `a une distance c de A, on peut choisir b1 =−√
c2−1, b2= 0 et b3= 1.
Le point C = (c1, c2, c3) doit se trouver dans le plan de cote 2, donc v´erifier c3 = 2 ; il doit v´erifier la condition d’orthogonalit´ehB, Ci= 0, soitb1c1+b2c2+b3c3= 0, ainsi que la condition de longueur AC =c, soit c21+c22+c23=c2.
On obtient ainsi : c1= 2/√
c2−1,c2=c√
c2−5/√
c2−1 et c3= 2.
Enfin, le pointE = (e1, e2, e3) doit v´erifier les deux conditions d’orthogonalit´ehB, Ei= 0, soit b1e1+b2e2+b3e3 = 0 et hC, Ei= 0, soit c1e1+c2e2+c3e3 = 0. En outre, il doit ˆetre `a une distancec de A, donc v´erifiere21+e22+e23=c2.
Cela conduit `a e1 =√
c2−5/√
c2−1, e2=−2c/√
c2−1 et e3 =√ c2−5.
Mais E doit se trouver dans le plan de cote 4, donc v´erifier e3 = 4. On a donc √
c2−5 = 4, soitc2−5 = 16 , d’o`u c=√
21.
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