D10135. Le probl` eme de Napol´ eon
Etant donn´ee une circonf´erence (L), trouver son centreOpar une construc- tion g´eom´etrique n’utilisant que le compas.
Solution
Je note (P, r) le cercle de centre P et de rayon r. Une construction ne demandant que 6 cercles est la suivante.
PrendreA sur (L), tracer (A, r) en choisissant r de mani`ere `a couper (L) en deux points B et D, pas trop proches de A (pour que la construction marche, il faut que l’angleBAD <150 degr´es environ).
(B, r) et (D, r) se recoupent enC.
(C, CA) coupe (A, r) enE etF.
(E, r) et (F, r) se recoupent en O, centre du cercle (L).
Preuve
AC est ´evidemment axe de sym´etrie de la figure. Supposons que (E, r) et (F, r) se recoupent en G. AEGF est un losange qui, compl´et´e par les segments ´egaux CE etCF, forme un inverseur de Peaucellier :
CA.CG=CE2−r2=CA2−r2, d’o`u AC.AG=AC2−CA.CG=r2.
(CA,CG,AC,AG sont pris en valeur alg´ebrique sur l’axe AC.)
Par d´efinition deO,OA=OB =OD. D’autre part,ABCDest un losange qui, compl´et´e par les segments ´egaux OB et OD, forme un inverseur de Peaucellier :
OA.OC =OB2−r2 =OA2−r2, d’o`u AC.AO=AO2−OA.OC =r2.
Comparant ces deux r´esultats, on conclut queAG=AO,O est confondu avec G.
Remarque. On d´emontre que toute construction r´ealisable avec r`egle et compas est aussi r´ealisable avec le compas seul. Il y a donc bien d’autres constructions r´epondant `a la question. On pourra aussi chercher une construction sans le compas, avec seulement r`egle et ´equerre.
1
