D10128. Th´ eor` eme de Napol´ eon
Etant donn´e un triangle quelconque, d´emontrer que si l’on construit sur chacun des cˆot´es un triangle ´equilat´eral ayant ce cˆot´e pour base, alors les centres de ces trois triangles ´equilat´eraux sont les sommets d’un triangle
´equilat´eral, pourvu que ces trois triangles soient tous trois ext´erieurs ou int´erieurs au triangle d’origine.
Solution
Remarque pr´eliminaire
Dans cette formulation, propos´ee par Claude Cardot (X 37), il faut com- prendre “int´erieur au triangle d’origine” comme “construit du mˆeme cˆot´e que le triangle d’origine par rapport au cˆot´e commun”. En effet, si un tri- angle admettait plus d’un triangle ´equilat´eral int´erieur en un sens plus strict, il aurait trois angles sup´erieurs `aπ/3, ce qui ne se peut.
Sooit A0 le centre du triangle ´equilat´eral construit sur BC, B0 et C0 de mˆeme pourCA etAB.CB0A est isoc`ele, avec des angles π/6 enC etA, et B0A=B0C=CA/√
3.
De mˆeme dans AC0B avecC0A=C0B=AB/√ 3.
L’angleC0AB0=BAC+π/3, si les trianglesCB0AetAC0Bsont ext´erieurs, ouBAC−π/3, s’ils sont “int´erieurs”.
On en tire, dans le cas “ext´erieur”,
B0C02 =AB2/3 +AC2/3−(2/3)AB.ACcos(BAC+π/3)
= (BC2+CA2+AB2)/6 + 2S/√
3, en notantS l’aire du triangle donn´e.
Cette expression est sym´etrique, on obtient la mˆeme pour C0A02 et A0B02, d’o`u le th´eor`eme.
Dans le cas “int´erieur”, on obtient
B0C02 =C0A02 =A0B02 = (BC2+CA2+AB2)/6−2S/√ 3.
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