D10004. Du quelconque ` a l’´ equilat´ eral
Un prisme ayant pour section droite un triangle donn´e, trouver un plan qui le coupe suivant un triangle ´equilat´eral.
Solution
Soit A0B0C0 un triangle ´equilat´eral (de cˆot´e d) se projetant sur la section droiteABC du prisme (de cˆot´es BC=a,CA=b,AB=c et d’aire S).
Je notex,y etz les cotes deA0, B0, C0 compt´ees `a partir du planABC.
Alors (Pythagore),|y−z|=√
d2−a2,|z−x|=√
d2−b2,|x−y|=√
d2−c2, et par un choix convenable des signes
±√
d2−a2±√
d2−b2±√
d2−c2 = 0.
Chassant les radicaux, on obtient 3d4−2d2(a2+b2+c2) + 16S2 = 0.
Cette ´equation bicarr´ee se r´esout classiquement end=±l±l0, en posant l, l0 =
r
a2+b2+c2±4S√ 3/6.
Ce sont les cˆot´es des triangles de Napol´eon construits sur ABC (voir le probl`eme D10128).
La condition n´ecessaire d ≥ max(a, b, c) ne laisse subsister que la solution d=l+l0.
A d connu, on construit facilement un triangle A0B0C0 en remarquant que sic est le plus petit cˆot´e,z est entre xety, et ainsi de suite.
Remarque. La solution d = |l − l0| se prˆete aussi `a une interpr´etation g´eom´etrique simple : c’est le cˆot´e du triangle ´equilat´eral qui peut ˆetre projec- tion orthogonale du triangle donn´e. En effet, c’est une solution de l’´equation
±√
a2−d2±√
b2−d2±√
c2−d2 = 0, qu’on obtient en consid´erant les cotes des sommets du triangle donn´e par rapport au plan de projection.
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