BARYCEN T RES
1`ereSRappels sur le calcul vectoriel
Propri´et´e Pour tous points A, B et C du plan, on a la relation de Chasles : −→
AB+−−→
BC =−→
AC A
B
C
Propri´et´e Soit (O;~i,~j) un rep`ere et A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan, alors :
• le vecteur −→
AB a pour coordonn´ees : −→
AB(xB−xA;yB−yA)
• la norme du vecteur −→
AB, not´ee k−→
ABk, est la longueur AB, et si de plus le rep`ere (O;~i,~j) est orthonormal, AB =k−→
ABk=p
(xB−xA)2+ (yb−yA)2
Si ~u a pour coordonn´ees~u(x;y) dans un rep`ere orthonormal, alors k~uk=p
x2+y2
• le milieu I de [AB] a pour coordonn´eesI
xA+xB
2 ;yA+yB
2
D´efinition Deux vecteurs ~u=−→
AB et ~v =−−→
CD sont dits colin´eaires lorsqu’ils ont la mˆeme direc- tion, ce qui est ´equivalent `a dire que les droites (AB) et (CD)sont parall`eles.
Propri´et´e • Les vecteurs ~u et~v sont colin´eaires si et seulement si ils sont proportionnels, c’est-`a- dire si et seulement si, il existe un r´eel k tel que ~u=k~v ou il existe un r´eel k′ tel que
~v =k′~u.
• Les vecteurs ~u(x;y) et ~v(x′;y′) sont colin´eaires si et seulement si xy′−x′y= 0.
Corollaire Les points A, B et C sont align´es si et seulement si les vecteurs −→
AB et −→
AC sont colin´eaires.
Ex. Soit ABC un triangle, et E etF les points d´efinis par 4−→
AE =−−→
BC et 5−→
AF =−→
AC.
Faire une figure, et prouver que les pointsB, E et F sont align´es.
Ex. Soit ABCD un carr´e. On note E le point int´erieur `a ABCD tel que le triangle DCE soit
´equilat´eral, et F le point ext´erieur `a ABCD tel que le triangle BCF soit aussi ´equilat´eral.
On souhaite montrer que les points A, E et F sont align´es.
1`ere m´ethode : Donner une mesure de l’angle \ADE, puis de l’angle \AED.
Donner de mˆeme une mesure de l’angle CEF[ et en d´eduire une mesure l’angle AEF[. Conclure.
2`eme m´ethode :
On consid`ere le rep`ere (A;−→
AB;−−→
AD). D´eterminer dans ce rep`ere les coordonn´ees des points A, E etF. (On pourra introduire les points H et H′, pieds des hauteurs issues de E et F, et calculer les longueurs HE et H′F).
Montrer alors, `a l’aide du calcul vectoriel, que les points A, E et F sont align´es.
Ex :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 p. 259
I - Introduction : centre de gravit´ e et barycentre
Equilibre d’une tige
Une masseAde 2 kg et une masseB de 3 kg sont en ´equilibre sur une tige rigide.
O`u se situe le centre d’inertie, ou point d’´equilibre, G? Donner une expression vectorielle reliant les vecteurs −→
GA et
−−→GB.
Mˆemes questions si, plus g´en´eralement, la masse situ´ee en A est m et la masse situ´ee en B est m′.
A G B
Equilibre ´electrique
Un ´electron est situ´e au point A (charge : -1e-), et deux pro- tons sont situ´es en B (charge : +2e-).
D´eterminer le point sur la droite (AB) ou le potentiel
´electrique est nul.
A, -1e- B, +2e-
II - Barycentre de deux points
Th´eor`emeSoit A et B deux points, et α et β deux r´eels donn´es tels que α+β 6= 0. Alors, il existe un unique point G tel que α−→
GA+β−−→
GB =~0.
D´emonstration : Pour tout point G, α−→
GA+β−−→
GB =α−→
GA+β−→
GA+−→
AB
= (α+β)−→
GA+β−→
AB.
Ainsi,α−→
GA+β−−→
GB =~0 ´equivaut `a−→
GA=− β α+β
−→AB ou encore `a−→
AG= β α+β
−→AB, ce qui d´efinit
bien de mani`ere unique le point G.
D´efinition On appelle barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β), avec α+β 6= 0, l’unique point G tel que α−→
GA+β−−→
GB =~0.
Ex. Soit A etB deux points.
Placer dans chacun des cas le barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β), o`u : a) α= 1 et β = 1
b) α= 1 et β = 3 c) α = 2 etβ = 3 d) α= 4 et β = 6 e) α =−2 et β = 1 Ex : 14, 15, 16 p. 260
Propri´et´e Si G est le barycentre de (A, α) et (B, β), alors G est aussi le barycentre de (A, kα) et (B, kβ), pour tout nombre k 6= 0.
D´emonstration :Gest le barycentre de (A, α) et (B, β) signifie queα+β 6= 0 et queα−→
GA+β−−→
GB =−→ 0 .
En multipliant cette relation par k6= 0, on a donc aussi kα−→
GA+kβ−−→
GB =−→
0 , ce qui montre que Gest le barycentre de (A, kα) et (B, kβ) car kα+kβ=k(α+β)6= 0.
Corollaire Si α=β, le barycentreGde (A, α)et(B, β)est aussi le barycentre de(A,1)et(B,1).
On dit que G est l’isobarycentre des points A et B.
Dans ce cas, on a −→
GA+−−→
GB = −→
0, et donc l’isobarycentre des points A et B est le milieu de [AB].
Propri´et´e Soit G le barycentre de (A, α) et (B, β).
Alors pour tout point M on a : α−−→
M A+β−−→
M B = (α+β)−−→
M G.
D´emonstration : Pour tout point M, on a : α−−→
M A+β−−→
M B =α−−→
M G+−→
GA
+β−−→
M G+−−→
GB
= (α+β)−−→
M G+α−→
GA+β−−→
GB, ce qui donne le r´esultat car, par d´efintion du barycentre de (A, α) et (B, β), α−→
GA+β−−→
GB = 0.
Remarque : Comme la propri´et´e pr´ec´edente est valable pour tout pointM, on peut l’utiliser en par- ticulier en choisissant
– M =G et on retrouve la relation :α−→
GA+β−−→
GB = (α+β)−→
GG=−→ 0 – M =A et on obtient la relation :β−→
AB = (α+β)−→
AG, qui permet de positionner le pointG Ex : SoitAetB deux points, et ~uun vecteur. Trouver le ou les pointsM tels que 3−−→
M A+ 2−−→
M B =~u.
Ex : 17, 18, 19, 21 p. 260
Propri´et´e Soit dans un rep`ere(O;~i,~j)les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB). Le barycentreGdes points pond´er´es(A, α) et (B, β) a pour coordonn´eesG(xG;yG) o`u,
xG = αxA+βxB
α+β et, yG= αyA+βyB
α+β D´emonstration : Pour tout point M, on a α−−→
M A+β−−→
M B = (α+β)−−→
M G.
En choisissant M =O, on obtient donc, (α+β)−→
OG=α−→
OA+β−−→
OB, ou encore
−→OG= α α+β
−→OA+ β α+β
−−→OB
d’o`u les coordonn´ees donn´ees dans le th´eor`eme.
Ex : SoitA(3;−5) et B(9; 7)
a) D´eterminer les coordonn´ees de l’isobarycentre I.
b) D´eterminer les coordonn´ees du barycentre de (A,3) et (B,2).
III - Barycentre de trois points
Th´eor`emeSoit A, B etC trois points, etα, β et γ trois r´eels donn´es tels que α+β+γ 6= 0. Alors, il existe un unique point G tel que α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC =~0.
D´emonstration : Pour tout point G, on a :
α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC =α−→
GA+β−→
GA+−→
AB
+γ−→
GA+−→
AC
= (α+β+γ)−→
GA+β−→
AB+γ−→
AC.
Ainsi, α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC =~0 ´equivaut `a −→
GA = − β α+β+γ
−→AB− γ α+β+γ
−→AC ou encore `a
−→AG= β α+β+γ
−→AB + γ α+β+γ
−→AC, ce qui d´efinit bien de mani`ere unique le point G.
D´efinition On appelle barycentre des points pond´er´es (A, α),(B, β) et (C, γ), avec α+β+ γ 6= 0, l’unique point G tel que α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC =~0.
Propri´et´e • Si G est le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ), alors, pour tout k 6= 0, G est aussi le barycentre de (A, kα), (B, kβ) et (C, kγ).
• Lorsque les points A, B et C sont affect´es du mˆeme coefficient α = β = γ non nul, alors le barycentre de (A, α), (B, α) et (C, α) est aussi le barycentre de (A,1), (B,1) et (C,1).
Dans ce cas, G est appel´e isobarycentre des points A, B et C. G est alors le centre de gravit´e du triangle ABC (intersection des m´edianes).
• Pour tout point M, on a :α−−→
M A+β−−→
M B+γ−−→
M C = (α+β+γ)−−→
M G.
Ex : Soit trois points A, B et C. Construire le barycentre G des points pond´er´es (A,1), (B,1) et (C,2).
Ex : 22, 23, 24 p. 260
Th´eor`emeAssociativit´e du barycentre
Soit G le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ).
On suppose que α+β 6= 0, et on note H le barycentre de (A, α) et (B, β).
Alors, G est le barycentre de (H, α+β) et de (C, γ).
D´emonstration : Par d´efinition, on aα−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC =−→ 0 .
CommeHest le barycentre de (A, α) et (B, β), pour tout pointM,α−−→
M A+β−−→
M B = (α+β)−−→
M H, et donc, en particulier si M =G, α−→
GA+β−−→
GB = (α+β)−−→
GH. Ainsi, α−→
GA+β−−→
GB+γ−→
GC = (α+β)−−→
GH+γ−→
GC =−→
0 , ce qui montre que G est le barycentre de (H, α+β) et de (C, γ).
Ex : Soit trois points A, B et C. Construire dans chaque cas le barycentre des points (A, α), (B, β) et (C, γ).
a) α= 1, β= 1, γ = 2 b) α= 3, β = 1, γ = 2 c) α =−2, β= 1, γ = 3 d) α= 1, β =−1, γ = 2 Ex : 27, 28, 33, 34 p. 261
Propri´et´e Soit dans un rep`ere (O;~i,~j) les points A(xA;yA), B(xB;yB) et C(xC;yC) Le barycentre G des points pond´er´es(A, α), (B, β) et (C, γ) a pour coordonn´eesG(xG;yG) o`u,
xG = αxA+βxB+γxC
α+β+γ et, yG = αyA+βyB+γyC
α+β+γ Ex : SoitA(−1; 3), B(2; 4) et C(1;−2).
D´eterminer les coordonn´ees du barycentre G de (A,1), (B,2) et (C,3).
Placer les points A, B etC sur une figure, et retrouver g´eom´etriquement le point G.
IV - Barycentre de n points
Apr`es avoir introduit et ´etudi´e les barycentres de deux points, puis de trois points, on peut ais´ement g´en´eraliser les r´esultats au cas den points.
Propri´et´e Soitn points A1, A2, . . .,An, et etn r´eels α1, α2, . . .,αn tels que α1+α2+· · ·+αn6= 0, alors
• il existe un unique point G tel que
α1
−−→GA1+α2
−−→GA2+· · ·+αn
−−→GAn =−→ 0
• pour tout point M, on a
α1
−−−→M A1+α2
−−−→M A2+· · ·+αn
−−−→M An= (α1+α2+· · ·+αn)−−→
M G
• G est aussi le barycentre (A1, kα1), (A2, kα2), . . ., (An, kαn), pour tout r´eel k6= 0.
• Pour trouver le barycentre G, on peut remplacerp points, parmi lesn points, par leur barycentre H affect´e de la somme non nulle de leur coefficient.
• si A1(x1;y1), A2(x2;y2), . . ., An(xn;yn), alors les coordonn´ees du barycentre sont G(xG;yG) avec
xG = α1x1+α2x2+· · ·+αnxn
α1+α2+· · ·+αn
et, yG = α1y1+α2y2+· · ·+αnyn
α1+α2 +· · ·+αn
Ex : Soit quatre pointsA, B, C etD. Placer le barycentre G de (A,1) (B,1), (C,2) et (D,2).
Ex : On consid`ere les pointsA(−1,−1), B(3,−2), C(4,3) et D(−2,2).
Placer le barycentre G de (A,2) (B,1), (C,2) et (D,3).
Calculer les coordonn´ees de G et v´erifier.
V - Centres d’inertie de plaques
Toutes les plaques consid´er´ees par la suite sont suppos´ees homog`enes (leur masse surfacique, en kg.m−2 est constante).
Th´eor`emeEl´ements de sym´etrie Si une plaque admet un axe de sym´etrie ∆, alors son centre d’inertie est sur ∆.
Si la plaque admet un centre de sym´etrie I, alors son centre d’inertie est I.
Ex :
∆
Th´eor`emeAssociation Soit deux plaques P1 et P2 d’aire respective a1
et a2 et de centre d’inertie respectif I1 et I2.
Alors le centre d’inertie de la plaque P r´eunion des plaques P1 et P2 est le barycentre de (I1, a1) et (I2, a2).
Remarque : Les airesa1 eta2 peuvent ˆetre prises comme coefficent car, pour des plaques homog`enes, les masses sont proportionnelles aux aires.
P1
P2
× I1
×I1
×I
Ex : La plaqueP suivante est constitu´ee par la r´eunion d’un triangle ABC rectangle isoc`ele en Aet de deux carr´es de cˆot´e 6 cm. O est le mileu de [BC]. On note I le centre d’inertie de la plaque P.
A
B Ob C
a. Pourquoi I est-il sur (OA) ?
b. Placer les centres d’inertiesG1 etG2 des deux carr´es, et G3 centre d’inertie du triangle ABC.
c. Montrer que I est le barycentre de (G1,2), (G2,2) et (G3,1).
d. Placer I.
Ex : La plaque P suivante est constitu´e par un triangle ´equilat´eral ABC de cˆot´e a, de centre de gravit´eO, priv´e du triangle isoc`ele OBC.
On d´esigne par Ω le centre de gravit´e deOBC et par I le centre d’inertie de la plaque P.
b
A′ O A
B C
• M´ethode 1 En consid´erant la plaque comme la r´eunion des tri- angles AOB etAOC, placer G1 etG2, centres d’inertie deAOB et AOC, puis placerI.
• M´ethode 2La plaque peut aussi ˆetre consid´er´ee comme la “sous- traction” de la plaque AOC `a la plaque ABC.
a. Placer les centres d’inertie G1 de ABC et Ω deAOC. b. Montrer que I est la barycentre de (O,3), (Ω,−1).
Ex : Placer le centre d’inertie pour chacune des plaques suivantes (on pourra utiliser deux m´ethodes diff´erentes dans chaque cas).
Ex : Une rondelle a la forme d’un disque ´evid´e.
On donne OP = 3OO′.
1. Placer le centre d’inertie I de la rondelle ´evid´ee.
2. On note M la masse de la rondelle ´evid´ee. Quelle masse faut-il placer enP afin que le centre d’inertie de l’ensemble, rondelle ´evid´ee et masse en P, soit centr´e en O?
O b b bP
O′
