Premi`ere S3
Correction d´ etaill´ ee DSN
◦3
Mercredi 4 janvier 2006Exercice 1 :
1. Rappel : mesure principale d’un angle de deux vecteurs non-nuls(−→u ,−→v).
Soit uneαune mesure de l’angle(−→u ,−→v), pour toutk∈Z αk=α+ 2kπest aussi une mesure de l’angle (−→u ,−→v). La mesure principale de l’angle(−→u ,−→v)est parmi les r´eelsαk, l’unique valeur appartennant `a l’intervalle]−π, π].On a donc :
• 5π
3 =6π−π 3 =−π
3+ 2π la mesure principale de 5π
3 est−π 3.
• −5π
4 = −8π+ 3π
4 =3π
4 −2πla mesure principale de−5π 4 est 3π
4 .
• 31π
6 = 36π−5π
6 = 12π−5π
6 la mesure principale de 31π
6 est −5π 6 2. On rappelle que pour toutx∈Ron asin(−x) =sin(x),cos(π
2−x) =sin(x) etsin(π+x) =−sin(x).
A=cos(5π
14) + 2sin(π
7) +sin(8π
7 ) +sin(−π 7) A=cos(π
2 −π
7) + 2sin(π
7) +sin(π+π
7)−sin(π 7) A=cos(π
2 −π
7) + 2sin(π
7) +sin(π+π
7)−sin(π 7) A=sin(π
7) + 2sin(π
7)−sin(π
7)−sin(π 7) A=sin(π
7) Exercice 2 :
SoitGle barycentre de (A; 1) et (B,−2) on a pour toutM du plan on a −−→
M A−2−−→
M B=−−−→
M G=−−→
GM. Un pointM appartient `aE si et seulement, si (−−→
M A−2−−→
M B,−−→ AB) =π
4 ce qui est ´equivalent `a (−−→
GM ,−−→ AB) = π
4. L’ensemble E est donc une demi-droite dont l’origineGest exclue.
−
→u
+ + +
+
A B G +π
4
M0
E
On pose−→u =−→AB.
L’ensembleE est la demi-droite ]GM0) avecM0 un point tel que (−−−→ GM0,−−→
AB) = π 4.
Exercice 3 :
1. (a) On sait que ABCD est un carr´e et que AED est triangle ´equilat´eral on a donc AD=AB =AE. Le triangle ADE est isoc`ele de sommetA.
(b) On a (−−→ AB,−−→
AD) = (−−→ AB,−→
AE) + (−→
AE,−−→
AD) d’o`u (−→
AE,−−→ AD) = π
2 −π 3 =π
6. On sait de plus que triangle AED est isoc`ele de sommetA on a (−−→
ED,−→
EA) = (−−→ DA,−−→
DE). On en conclut que (−−→
ED,−→
EA) =1
2(π−(−→
AE,−−→ AD)) =1
2×5π 6 = 5π
12 2. (−−→
BE,−−→
BF) = (−−→ BE,−−→
BC) + (−−→ BC,−−→
BF) =−π 6−π
3 =−π 2.
On en d´eduit que le triangleEBCest rectangle enB et comme il est isoc`ele on a donc (−−→ EB,−−→
EF) = π 4. 3. (a) D’apr`es la relation de Chasles et les questions pr´ec´edentes on a
(−−→ ED,−−→
EF) = (−−→ ED,−→
EA) + (−→
EA,−−→
EB) + (−−→ EB,−−→
EF) (−−→
ED,−−→ EF) =5π
12 +π 3 +π (−−→ 4
ED,−−→ EF) =π (b) Les vecteurs−−→
ED et−−→
EF ont la mˆeme direction mais des sens oppos´es. On en d´eduit que les pointsE, D et F sont align´es.
Exercice 4 :
Soitf la fonction d´efinie surRpar :
f(x) =2x2+ 1 x2+ 1.
1. On chercher `a d´eterminer deux r´eelsaet btels que pour toutx∈Ron aitf(x) =a+ b
x2+ 1. On peut utiliser deux m´ethodes :
Premi`ere m´ethode :
Pour toutx∈Ron a :a+ b
x2+ 1 =ax2+a+b
x2+ 1 orf(x) =2x2+ 1
x2+ 1 pour que ces deux expressions soient ´egales il faut et il suffit que :
a= 2
a+b= 1 d’o`ua= 2 etb=−1.
Seconde m´ethode :
Pour toutx∈Ron a :
f(x) =2x2+ 1 x2+ 1
f(x) =2(x2+ 1)−2 + 1 x2+ 1 f(x) =2(x2+ 1)
x2+ 1 + −1 x2+ 1 f(x) = 2 + −1
x2+ 1 d’o`ua= 2 etb=−1.
2. Pour toutx∈R, −1
x2+ 1 <0 de plus :
x2≥0 x2+ 1≥1
1 x2+ 1 ≤1
− 1
x2+ 1 ≥ −1
−1≤ − 1 x2+ 1 on obtient−1≤ − 1
x2+ 1 <0, il suffit d’ajouter 2, 1≤2− 1
x2+ 1 <2 d’o`u pour toutx∈Ron a 1≤f(x)<2.
