Soit ABC un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 3, B’ est le milieu de [AC] et D le point d´efini par la relation : 4

Le produit scalaire

Exercice 1

Une unit´e de longueur a ´et´e choisie.

Soit ABC un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 3, B’ est le milieu de [AC] et D le point d´efini par la relation : 4

^Ý

AD

^ÝÑÝ

AB

^ÝÑ

3

^Ý

BC

^ÝÑ

1. a) D´emontrer que D est le barycentre du syst`eme : (A,3) ; (B,-2) ; (C,3) b) En d´eduire que D appartient `a la m´ediatrice du segment [AC].

2. D´emontrer que

^Ý

BD

^ÝÑ

3 2

ÝÝÑ

BB

¹

3. Calculer DA ² et DB ²

4. D´eterminer l’ensemble (E) des points M v´erifiant la relation : 3 MA ² - 2 MB ² + 3 MC ² = 12 V´erifier que le centre de gravit´e G du triangle ABC appartient ` a (E).

Exercice 2

On consid`ere dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.

Soit I le milieu de [BC].

1. Montrer que AI =

?

33 cm.

2. a) Soit M un point du plan.

Pour quelle valeur du r´eel m le vecteur m

^Ý

M A

^{ÝÑ Ý}

M B

^{ÝÑ Ý}

M C

^ÝÑ

est-il ´egal ` a un vecteur ~ u ind´ependant du point M ?

D´eterminer alors ~ u en fonction du vecteur

^Ý

AI.

^Ñ

b) D´eterminer et construire l’ensemble F des points M du plan tels que : -MA ² + MB ² + MC ² = -25.

Exercice 3

Ecrire une ´equation cart´esienne du plan ´ P , sachant que le projet´e orthogonal de l’origine sur P est le point A(1 ; 5 ; 7).

Exercice 4

Ecrire une ´equation de la sph`ere de centre I(3 ; 1 ; -4), passant par le point A(4 ; 2 ; 1). ´

Exercice 5

V´erifier que A(4 ; -1 ; 2) est un point de la sph`ere S ; ´ecrire une ´equation du plan tangent en A `a S . S : x ² y ² z ²

6x 2y 4z

3

0.

Exercice 6

Calculer la distance d du point A ` a la droite D sachant que : la droite D a pour ´equation

x 4y

2

0 ;

et le point A a pour coordonn´ees (-1 ; 3).

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Exercice 7

Dans l’espace muni d’un rep`ere orthonormal

O;~i,~j, ~k , on consid`ere les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) et D(0 ; -1 ; 0).

1. V´erifier que le triangle ABC est ´equilat´eral.

2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ? 3. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].

Calculer

^Ý

CI

^ÑÝ

CJ. En d´eduire une mesure en degr´es de l’angle

^Ñ

ICJ.

^y

4. On appelle H le projet´e orthogonal de J sur la droite (CI).

Calculer les coordonn´ees de H.

Quel rˆ ole joue le point H sur le triangle ABC ?

Exercice 8

ABCD est un t´etra`edre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AD], [BC], [AC] et [BD].

1. Montrer que

^Ý

AB

^{Ñ Ý}

DC

^Ñ

2

^ÝÑ

IJ et que

^Ý

AB

^ÑÝ

DC

^Ñ

2

^Ý

KL.

^Ñ

2. Montrer que (IJ) et (KL) sont s´ecantes et orthogonales.

3. Quelle est la nature du quadrilat`ere IKJL ? Calculer la longueur de ses cˆot´es en fonction de a.

4. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que IKJL soit un carr´e.

Exercice 9 Soit ~ u

?

2

1; 1;

?

2 1

et ~ v 1;

?

2 1;

4 2

?

2

. Calculer ~ u

~ v ; qu’en d´eduit-on pour ~ u et ~ v ?

V´erifier ce r´esultat par un autre calcul.

Exercice 10

Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan.

D´emontrer que (AB ² + CD ² ) - (AD ² + CB ² ) = 2

^Ý

DB

^ÑÝ

AC `

^Ñ

a l’aide de relations de Chasles judicieusement choisies dans le premier membre.

Exercice 11

1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l’´egalit´e :

^Ý

MA

^ÝÑÝ

BC

^{Ñ Ý}

MB

^ÝÑÝ

CA

^{Ñ Ý}

MC

^ÝÑÝ

AB

^Ñ

0.

2. Application : montrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.

Indication : On appelle H le point d’intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi `a la troisi`eme hauteur.

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Correction

Exercice 1

1. a) Le point D est d´efini par la relation suivante : 4

^Ý

AD

^ÝÑÝ

AB

^ÝÑ

3

^Ý

BC

^ÝÑ

donc :

4

^Ý

AD

^{ÝÑ Ý}

AB

^ÝÑ

3

^Ý

BC

^ÝÑÝÑ

0

4

^Ý

DA

^{ÝÑ Ý}

AD

^{ÝÑ Ý}

DB

^ÝÑ

3

^Ý

BD

^ÝÑ

3

^Ý

DC

^ÝÑÝÑ

0 3

^Ý

DA

^ÝÑ

2

^Ý

DB

^ÝÑ

3

^Ý

DC

^ÝÑÝÑ

0

D’o` u : D est le barycentre du syst` eme (A,3) ; (B,-2) ; (C,3) 1. b) On sait que :

D est le barycentre du syst`eme (A, 3) (B, -2) (C, 3),

B’ est le milieu du segment [AC], donc B’ est le barycentre de (A, 3) (C, 3).

D’apr`es le th´eor`eme d’associativit´e du barycentre, D est le barycentre de (B’, 6) (B, -2).

D appartient donc ` a la droite (BB’), m´ediatrice du segment [AC] (car ABC est un triangle ´equilat´eral).

2. On sait que D est le barycentre de (B’, 6) (B, -2). Donc : 6

^Ý

DB

^ÝÑ1

2

^Ý

DB

^ÝÑÝÑ

0

6

^Ý

DB

^ÝÑ

6

^Ý

BB

^ÝÑ1

2

^Ý

DB

^ÝÑÝÑ

0 4

^Ý

DB

^ÝÑ

6

^Ý

BB

^ÝÑ1

ÝÝÑ

BD

3 2

ÝÝÑ

BB

¹

3.

DA ²

^pÝ

DB

^{ÝÑ1 Ý}

B

^ÝÑ1

A

^q

²

DB

¹

² 2

^Ý

DB

^ÝÑ1Ý

B

^Ý1Ñ

A B

¹

A ²

DB

¹

² 2

0 B

¹

A ²

^p

carDappartient` alam´ ediatricedusegment

^r

AC

^sq

1 2 BB

¹

2

1 2 AC

2

1 4

3

?

3 2

2

1 4

3 ²

Rappel : lahauteurd

¹

untriangle equilateraldecoteaest´ ´ egalea a

?

3 2

63 16

Comme

^Ý

BD

^ÝÑ

3 2

ÝÝÑ

BB

¹

, alors : DB ²

3 2

2

BB

¹

² DB ²

9

4

3

?

3 2

2

DB ²

243 16 4.

3M A ²

2M B ² 3M C ²

12

ðñ

3

^pÝ

M D

^{ÝÑ Ý}

DA

^ÝÑq

²

2

^pÝ

M D

^{ÝÑ Ý}

DB

^ÝÑq

² 3

^pÝ

M D

^{ÝÑ Ý}

DC

^ÝÑq

²

12

ðñ

3M D ² 6

^Ý

M D

^ÝÑÝ

DA

^ÝÑ

3DA ²

2M D ²

4

^Ý

M D

^ÝÑÝ

DB

^ÝÑ

2DB ² 3M D ² 6

^Ý

M D

^ÝÑÝ

DC

^ÝÑ

3DC ²

12

ðñ

4M D ² 2

^Ý

M D

^ÝÑp

3

^Ý

DA

^ÝÑ

2

^Ý

DB

^ÝÑ

3

^Ý

DC

^ÝÑq

3DA ²

2DB ² 3DC ²

12

ðñ

4M D ² 2

^Ý

M D

^ÝÑÝÑ

0 3DA ²

2DB ² 3DC ²

12

p

carDestlebarycentrede

^p

A, 3

^qp

B,

2

^qp

C, 3

^qq

ðñ

4M D ²

12

3DA ² 2DB ²

3DC ²

ðñ

4M D ²

12

6DA ² 2DB ²

^p

DA

DCcarDappartient` alam´ ediatricedusegment

^r

AC

^sq

ðñ

4M D ²

12

6

63

16 2

243 16

ðñ

M D ²

75 16

L’ensemble des points M est le cercle de centre D et de rayon 5

?

3 4

V´erifions que le centre de gravit´e G du triangle ABC appartient ` a l’ensemble (E) :

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Comme ABC est un triangle ´equilat´eral, alors GA = GB = GC, donc : 3GA ²

2GB ² 3GC ²

4GB ²

4

2 3 BB

¹

2

4

2 3

3

?

3 2

2

12 G appartient `a l’ensemble (E).

Exercice 2

1. Montrons que AI =

?

33 :

Premi` ere m´ ethode :

D’apr`es le th´eor`eme de la m´ediane, on a : AB ² AC ²

2AI ² BC ² Donc : 2

AI ²

AB ² AC ²

BC ² 2 2 AI ²

7 ² 5 ²

4 ² 2 2 AI ²

49 25

16 2 2 AI ²

66 AI ²

33 2 D’o` u : AI =

?

33 cm.

Deuxi` eme m´ ethode :

Remarquons d’abord que (AI) est la m´ediane du triangle ABC issue de A.

Identit´ e du parrall´ elogramme :

Pour tous vecteurs ~ u et ~ v du plan, on a :

^||

~ u

^||

²

^||

~ v

^||

²

1

2

^||

~ u ~ v

^||

²

^||

~ u

~ v

^||

²

En prenant ~ u

^Ý

AB

^ÝÑ

et ~ v

^Ý

AC, on a :

^Ñ

||

~ u ~ v

^||||Ý

AB

^{ÝÑ Ý}

AC

^Ñ||

2

^||Ý

AI

^Ñ||

et

^||

~ u

~ v

^||||Ý

AB

^ÝÑÝ

AC

^Ñ||||Ý

BC

^ÝÑ||

. L’identit´e du parrall`elogramme devient alors :

||

ÝÑ

AI

^||

²

1 2

||

ÝÝÑ

AB

^||

²

^||Ý

AC

^Ñ||

²

1 2

^||

BC

^||

²

L’application num´erique donne : AI ²

1 2

7 ² 5 ²

1 2

4 ²

33 D’o` u : AI =

?

33 cm.

2. a) Pour quelle valeur du r´ eel m le vecteur m

^Ý

M A

^{ÝÑ Ý}

M B

^{ÝÑ Ý}

M C

^ÝÑ

est-il ´ egal ` a un vecteur ~ u ind´ ependant du point M ?

m

^Ý

M A

^{ÝÑ Ý}

M B

^{ÝÑ Ý}

M C

^ÝÑ

m

^pÝ

M I

^{ÝÑ Ý}

IA

^{Ñq pÝ}

M I

^{ÝÑ Ý}

IB

^{Ñq pÝ}

M I

^{ÝÑ Ý}

IC

^Ñq

p

m 2

^qÝ

M I

^ÝÑ

m

^Ý

IA

^{Ñ Ý}

IB

looomooon^{Ñ Ý}

IC

^Ñ

Ý Ñ

0

Donc m

^Ý

M A

^{ÝÑ Ý}

M B

^{ÝÑ Ý}

M C

^ÝÑ

est ind´ependant du point M si et seulement si m = -2.

On obtient alors : ~ u

2

^Ý

IA.

^Ñ

2. b) D´ eterminons l’ensemble F des points M du plan tels que -MA ² + MB ² + MC ² = -25 : Transformons -MA ² + MB ² + MC ² afin de faire apparaˆıtre le point I.

M A ² M B ² M C ²

M I ²

^p

IA ² IB ² IC ²

^q

2

^Ý

M I

^ÝÑ

ÝÑ

IA

^Ý

IB

^{Ñ Ý}

IC

^Ñ

looooooooooomooooooooooon

Ý Ñ

0

M I ²

2

^Ý

M I

^ÝÑÝ

IA

^Ñ

IA ²

^p

2IA ² IB ² IC ²

^q

ÝÝÑ

M I

^Ý

IA

^Ñ

2

p

2IA ² IB ² IC ²

^q

Or, on remarque que -25 = -33 + 2ˆ 2 + 2ˆ 2 = -IA ² + IB ² + IC ² , donc :

M A ² M B ² M C ²

25

^ðñ

ÝÝÑ

M I

^Ý

IA

^Ñ

2

p

2IA ² IB ² IC ²

^q

IA ² IB ² IC ²

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ðñ ÝÝÑ

M I

^Ý

IA

^{Ñ Ý}

IA

^Ñ

²

0

ðñ ÝÝÑ

M I

ÝÝÑ

M I

2

^Ý

IA

^Ñ

0

Soit J le point du plan tel que

^Ý

IJ

^Ñ

2

^Ý

IA

^Ñ

On a donc que

M A ² M B ² M C ²

25

^ðñÝ

M I

^ÝÑÝ

M J

^ÝÑ

0.

F est donc le cercle de diam`etre [IJ].

Exercice 3

Ecrivons une ´ equation cart´ esienne du plan P , sachant que le projet´ e orthogonal de l’origine sur P est le point A(1 ; 5 ; 7) :

Le vecteur

^Ý

OA

^Ñ

est un vecteur normal au plan P , c’est-` a-dire que pour tout point M(x ; y ; z) du plan P ,

ÝÝÑ

AM .

^Ý

OA

^Ñ

0

M appartient au plan P

ðñ ÝÝÑ

AM

^Ý

OA

^Ñ

0

ðñp

x

1

^qp

1

0

^{q p}

y

5

^qp

5

0

^{q p}

z

7

^qp

7

0

^q

0

ðñ

x 5y 7z

65

0.

D’o` u l’´equation du plan P .

Exercice 4

Ecrivons une ´ equation de la sph` ere de centre I(3 ; 1 ; -4), passant par le point A(4 ; 2 ; 1) : Calculons le rayon de la sph`ere : R ² = AI ² = (3 - 4) ² + (1 - 2) ² + (-4 - 1) ² = 27.

On en d´eduit l’´equation de la sph`ere : (x - 3) ² + (y - 1) ² + (z + 4) ² = 27.

Exercice 5

V´ erifions que A(4 ; -1 ; 2) est un point de la sph` ere S : Transformons l’´equation de S :

x ² y ² z ²

6x 2y 4z

3

0

^ðñ

x ²

6x y ² 2y z ² 4z

3

0

ðñ p

x

3

^q

²

^p

y 1

^q

²

^p

z 2

^q

²

3

3 ² 1 ² 2 ²

ðñ p

x

3

^q

²

^p

y 1

^q

²

^p

z 2

^q

²

17 Regardons si les coordonn´ees de A v´erifient l’´equation de S :

(4 - 3) ² + (-1 + 1) ² + (2 + 2) ² = 1 ² + 0 ² + 4 ² = 17.

Donc le point A appartient ` a la sph`ere S .

Ecrivons une ´ equation du plan tangent en A ` a S : Appelons ce plan P .

Le centre de la sph`ere est le point I(3 ; -1 ; -2).

^Ý

AI

^Ñ

est donc un vecteur normal au plan P . M (x ;y ;z) appartient ` a P

ðñ

ÝÑ

IA.

^Ý

AM

^ÝÑ

0

ðñp

4

3

^qp

x

4

^{q p}

1

^p

1

^qqp

y 1

^{q p}

2

^p

2

^qqp

z

2

^q

0

ðñ

x 4z

12

0 D’o` u l’´equation du plan P .

Exercice 6

Calculons la distance d du point A ` a la droite D : Distance d’un point ` a une droite dans le plan :

On consid`ere la droite D : ax + by + c = 0, avec

^p

a, b, c

^qP

R ³ et

^p

a, b

^qp

0, 0

^q

. M(x ^M ; y ^M ; z ^M ) est un point du plan.

La distance d

^p

M, D

q

vaut ainsi : d

^p

M, D

q

|

ax M by M c

^|

?

a ² b ² En appliquant la formule, il vient : d

^|

ax _A by _A c

^|

?

a ² b ²

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D’o` u, d

^|

1

^p

1

^q

4

3

2

^|

a

p

1

^q

² 4 ²

11

?

17

11

?

17 17

Remarque : Quand on a oubli´e la formule, on la red´emontre...

Soit H(x H ; y ^H ) le projet´e orthogonal de A sur D .

On note D

¹

la perpendiculaire `a la droite D passant par A.

~

u

^p

a; b

^q

est un vecteur directeur de D

¹

(car c’est un vecteur normal de D) Soit B(x ^B ; y ^B ) un point de D

| ÝÝÑ

AB

~ u

^|||Ý

AH

^ÝÑ||||

~ u

^||

d

^||

~ u

^||

D’autre part, avec l’autre formule du produit scalaire,

| ÝÝÑ

AB

~ u

^{| |p}

x _B

x _A

^q

a

^p

y _B

y _A

^q

b

^|

|p

ax _A b _{y A}

^q

ax _B by _B

c

^|

|p

ax _A b _{y A} c

^q|

|

ax _A b _{y A} c

^|

On en d´eduit que : d

^|

ÝÝÑ

AB.~ u

^|

||

~ u

^||

|

ax A b y A c

^|

?

a ² b ²

Exercice 7

1. V´ erifions que le triangle ABC est ´ equilat´ eral : On a facilement que AB

BC

CA

?

1 ² 1 ² 0 ²

?

2 donc le triangle ABC est ´equilat´eral.

2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ?

On a :

^Ý

AD

^ÝÑÝ

BC

^ÝÑp

0

1

^qp

0

0

^{q pp}

1

^q

0

^qp

0

1

^{q p}

0

0

^qp

1

0

^q

1 Donc les droites (AD) et (BC) ne sont pas orthogonales.

3. Calculons

^Ý

CI

^ÑÝ

CJ

^Ñ

: On a I

1 2 ; 1

2 ; 0

et J

1 2 ;

1

2 ; 0

, donc :

ÝÑ

CI

^Ý

CJ

^{Ñ p}

x _I

x _C

^qp

x _J

x _C

^{q p}

y _I

y _C

^qp

y _J

y _C

^{q p}

z _I

z _C

^qp

z _J

z _C

^q

1 2

1 2

1 2

1 2

p

1

^q

²

1

D´ eduisons-en une mesure de l’angle ICJ

^z

: cos

^p

ICJ

^zq

ÝÑ

CI

^Ý

CJ

^Ñ

||

ÝÑ

CI

^||||Ý

CI

^Ñ||

. Or,

^||Ý

CI

^Ñ||||Ý

CI

^Ñ||

?

2

?

3

2

3 2 , donc ; cos

^p

ICJ

^zq

1

b

3 2

b

3 2

2 3 .

Avec la calculatrice, on obtient :

^z

ICJ

48

. 4. Calculons les coordonn´ ees du point H :

Le point H est l’intersection de la droite (CI) et du plan P normal ` a la droite (CI) passant par I. On choisit pour vecteur normal de P le vecteur

^ÝÑ

n

2

^Ý

CI

^Ñ

qui a pour coordonn´ees (1 ; 1 ; -2).

L’´equation de P est donc de la forme : x y

2z d

0.

Pour trouver d, on dit que : J

^P

P

^ðñ

1

2

1

2 0 d

0

ðñ

d

0.

D’o` u, P : x y

2z

0.

D’autre part,

^p

CI

^q

:

$

&

%

x

t y

t z

2t 1

, t

^P

R.

On injecte l’´equation de (CI) dans l’´equation de P et on trouve : t t

2

^p

2t 1

^q

0

^ðñ

t

1

3 . On en d´eduit, H

1 3 ; 1

3 ; 1 3

.

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Quel rˆ ole joue le point H sur le triangle ABC ?

On remarque que 3

^Ý

OH

^ÝÑÝ

OA

^{Ñ Ý}

OB

^{ÝÑ Ý}

OC

^ÝÑ

3

^Ý

OG, donc H = G, centre de gravit´e du triangle ABC.

^ÝÑ

Exercice 8

1. Montrons que

^Ý

AB

^{ÝÑ Ý}

DC

^ÝÑ

2

^ÝÑ

IJ et que

^Ý

AB

^ÝÑÝ

DC

^ÝÑ

2

^Ý

KL :

^ÝÑ

ÝÝÑ

AB

^Ý

DC

^{ÝÑ pÝ}

AI

^{Ñ Ý}

IJ

^{Ñ Ý}

J B

^{Ñq pÝ}

DI

^{Ñ Ý}

IJ

^{Ñ Ý}

J C

^Ñq

2

^Ý

IJ

^ÑpÝ

IA

looomooon^{Ñ Ý}

ID

^Ñ

Ý Ñ

0

q p ÝÑ

J B

^Ý

J C

^Ñ

loooomoooon

Ý Ñ

0

q

2

^Ý

IJ

^Ñ

De mˆeme,

ÝÝÑ

AB

^Ý

DC

^{ÝÑ pÝ}

AK

^{ÝÑ Ý}

KL

^{ÝÑ Ý}

LB

^ÑqpÝ

DL

^{Ñ Ý}

LK

^{ÝÑ Ý}

KC

^ÝÑq

2

^Ý

KL

^ÝÑpÝ

KA

looooomooooon^{ÝÑ Ý}

KC

^ÝÑ

Ý Ñ

0

q p ÝÑ

LB

^Ý

LD

^Ñ

loooomoooon

Ý Ñ

0

q

2

^Ý

KL

^ÝÑ

2. Montrons que (IJ) et (KL) sont s´ ecantes et orthogonales :

ÝÑ

IJ

^Ý

KL

^ÝÑpÝ

AB

^{ÝÑ Ý}

DC

^ÝÑqpÝ

AB

^ÝÑÝ

DC

^ÝÑq||Ý

AB

^ÝÑ||

²

^||Ý

DC

^ÝÑ||

²

a ²

a ²

0.

Donc (IJ) et (KL) sont orthogonales.

On note P le plan engendr´e par les vecteurs

^Ý

ABet

^{ÝÑ Ý}

DC

^ÝÑ

passant par I.

Ainsi M appartient au plan P

ðñ

Il existe deux r´eels α et β tels que

^Ý

IM

^ÝÑ

α

^Ý

AB

^ÝÑ

β

^Ý

DC.

^ÝÑ

Or,

^Ý

IJ

^Ñ

1

2

ÝÝÑ

AB 1 2

ÝÝÑ

DC, donc J

^P

P .

ÝÑ

IK

^Ý

IA

^{Ñ Ý}

AK

^ÝÑ

1 2

ÝÝÑ

DA

^Ý

AC

^Ñ

1 2

ÝÝÑ

DC , donc K

^P

P .

ÝÑ

IL

^Ý

ID

^{Ñ Ý}

DL

^Ñ

1 2

ÝÝÑ

AD

^Ý

DB

^ÝÑ

1 2

ÝÝÑ

AB, donc L

^P

P .

Donc, les points I, J, K et L sont coplanaires. De plus,

^Ý

IJ

^Ñ

et

^Ý

KL

^ÝÑ

sont non colin´eaires, donc les droites (IJ) et (KL) sont s´ecantes.

3. D´ eterminons la nature du quadrilat` ere IKJL :

Les diagonales (IJ) et (KL) de ce quadrilat`ere sont orthogonales, donc IKJL est un losange de cˆot´e

^||Ý

IL

^Ñ||

1 2

^||

ÝÝÑ

AB

^||

a 2 .

4. Trouvons une condition n´ ecessaire et suffisante pour que IKJL soit un carr´ e : IKJL est un carr´e

^ðñ||Ý

IJ

^Ñ||||Ý

KL

^ÝÑ||

ðñ||

ÝÑ

IJ

^||

²

^||Ý

KL

^ÝÑ||

²

ðñ||

ÝÝÑ

AB

^Ý

DC

^ÝÑ||

²

^||Ý

AB

^ÝÑÝ

DC

^ÝÑ||

²

ðñ ÝÝÑ

AB

^Ý

DC

^ÝÑ

0

ðñ ÝÝÑ

AB et

^Ý

DC

^ÝÑ

sont orthogonaux.

Exercice 9 Calculons ~ u

~ v :

~ u

~ v

?

2

1

1 1

?

2 1

p

?

2 1

^qp

4 2

?

2

^q

0 V´ erifions ce r´ esultat par un autre calcul :

~

u

~ v

0

^ðñ

2~ u

~ v

2~ u

~ v

ðñ||

~ u

^||

²

^||

~ v

^||

² 2~ u

~ v

^||

~ u

^||

²

^||

~ v

^||

²

2~ u

~ v

ðñ||

~ u ~ v

^||

²

^||

~ u

~ v

^||

²

||

~ u ~ v

^||

²

?

2 ² 2

^p

1

?

2

^q

² 9

^p

1

?

2

^q

²

33

14

?

2

||

~ u

~ v

^||

²

2

^p

1

?

2

^q

²

?

2 ²

^p

5

?

2

^q

²

33

14

?

2 Donc

^||

~ u ~ v

^||

²

^||

~ u

~ v

^||

² .

D’o` u : ~ u

~ v

0.

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Exercice 10

D´ emontrons que AB ² CD ²

AD ² CB ²

2

^Ý

DB

^ÝÑÝ

AC

^Ñ

: AB ² CD ²

AD ² CB ²

AB ² CD ²

p

AB ² BD ² 2

^Ý

AB

^ÝÑÝ

BD

^ÝÑ

CD ² DB ² 2

^Ý

CD

^ÝÑÝ

DB

^ÝÑq

2

BD ²

ÝÝÑ

AB

^Ý

CD

^{ÝÑ Ý}

BD

^ÝÑ

2

ÝÝÑ

DB

^Ý

BA

^{ÝÑ Ý}

CD

^{ÝÑ Ý}

BD

^ÝÑ

2

^Ý

CA

^ÑÝ

BD

^ÝÑ

2

^Ý

DB

^ÝÑÝ

AC

^Ñ

Exercice 11

1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l’´egalit´e :

^Ý

MA

^ÝÑÝ

BC

^{Ñ Ý}

MB

^ÝÑÝ

CA

^{Ñ Ý}

MC

^ÝÑÝ

AB

^Ñ

0.

2. Application : montrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.

Indication : On appelle H le point d’intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi `a la troisi`eme hauteur.

1. Montrons, pour tout point M du plan, l’´ egalit´ e :

^Ý

MA

^ÝÑÝ

BC

^{ÝÑ Ý}

MB

^ÝÑÝ

CA

^{ÝÑ Ý}

MC

^ÝÑÝ

AB

^ÝÑ

0 :

ÝÝÑ

M A

^Ý

BC

^{ÝÑ Ý}

M B

^ÝÑÝ

CA

^{Ñ Ý}

M C

^ÝÑÝ

AB

^ÝÑÝ

M A

^ÝÑ

ÝÝÑ

BC

^Ý

CA

^{Ñ Ý}

AB

^ÝÑ

looooooooomooooooooon

Ý Ñ

0

Æ

ÝÝÑ

AB

^Ý

CA

^{Ñ Ý}

AC

^ÑÝ

AB

^ÝÑÝÑ

0 . 2. Montrons que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes :

Soit H le point d’intersection de la hauteur issue de A et de celle issue de B. Montrons que H appartient `a la hauteur issue de C.

Pour cela, on doit montrer que

^Ý

HC

^ÝÑÝ

AB

^ÝÑ

0.

ÝÝÑ

HC

^Ý

AB

^ÝÑÝ

HA

loooomoooon^ÝÑÝ

BC

^ÝÑ

0

ÝÝÑ

HB

^Ý

CA

^Ñ

loooomoooon

0

0.

D’o` u : le point H appartient ` a la hauteur issue de C. Les trois hauteurs d’un triangle sont donc concourantes.

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