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On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’espace défini par : 1.

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Texte intégral

(1)

TS ESPACE feuille 29

EXERCICE 2 (5 points)

Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :

 OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,

 OA = OB = OC = a.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’espace défini par :

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Calcul de OH

a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.

b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a

3

3

.

(2)

TS ESPACE feuille 29

4. Étude du tétraèdre ABCD.

L’espace est rapporté au repère orthonormal (O, a 1 

OA , a 1 

OB , a 1 

OC).

(a) Démontrer que le point H a pour coordonnées :

3 3 3

a a a .

(b) Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).

(c) Soit  le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que  est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

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