N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G EORGES D OSTOR
Rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre en fonction des arêtes
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 12 (1873), p. 370-374
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( 37o )
RAYON BE LA SPHÈRE CIRCONSCRITE All TÉTRAÈDRE EN FONCTION DES ARÊTES;
P A R M. GEORGES DOSTOR, Docteur es sciences.
Soient S, A, B, C les quatre sommets du tétraèdre.
Représentons par <z, è, c les trois arêtes SA, SB, SC issues du sommet S, et par X, p, v les inclinaisons mu- tuelles BSC, CSA, ASB de ces arêtes.
Prenons le sommet S pour origine des coordonnées et les droites SA, SB, SC pour les axes OX, OY, OZ.
Désignons par x, y, z les coordonnées du centre O de la sphère circonscrite et par R le rayon de cette sphère.
Le centre O sera le point d'intersection des trois plans élevés sur les milieux des arêtes a, fe, c, perpendiculaire-
, a b c , ment a ces arêtes \ par consequent -> -> - seront les projections orthogonales du rayon SO = R sur les trois axes des coordonnées OX, OY, OZ? de sorte que, si a,
|3, y sont les inclinaisons de SO sur ces trois axes, nous avons
Cela posé, projetons le rayon SO et la ligne brisée X -+-y -h z successivement sur SO et sur les trois axes de coordonnées -, nous obtenons les équations
— R -f- x cosa -f- y cosp H- z cosy = o,
— R cos a -f- x 4- y cosv -+- z cosjz — o,
— R cosf -+- x cosv -4- / -+- s cos). = o,
— R COS7 -4- x cosp 4 - y cosX -4- z z=z o ,
cos7 ( 37' )
qui, devant être compatibles, exigent que l'on ait le dé- terminant
i cosa cosp cos a i cosv cos (3 cosv i cosX cos 7 cosp cosX i
Telle est la relation qui existe entre les six angles que foiment entre elles quatre droites SO, SA, SB, SC issues dyun même point S.
Dans ce déterminant, mettons à la place de cos a, cos|3, cos y leurs valeurs —> —— 5 — tirées des égali- tés (i) ; l'équation précédente deviendra
I
a 2~R
b 2~R
c 2R
a 2~R
i
cosv
cosp b 2T cosv
I
cosX c 2~R
COS/X
cosX
I
= o,
ou, en multipliant la première ligne et la première colonne chacune par 2 R,
4R'
a
b
c a
i
cosv
COSu
b
COSV I
cosX c COSp cosX
I .
= o.
Cette équation donne la valeur de R en fonction des trois arêtes a, J, c issues du même sommet S et des in- clinaisons mutuelles A, jui, v de ces arêtes. On en tire, en
effet,
4R2 cosv i cosX = a cosv i cosX cosX i
b c
— b I COSV COSfA + C 1 COSV COSjx COSV
o u , en effectuant et développant.
4R2A = a2sin2X -f- 2^c(cos|x cosv — cosX )
I COSV COSfX
a
i COS/x
COSV I cosX
b
COSV
cosX COS p.
cosX I c COS p.
I
= a
• + - C
a
COSV COSfJ
a
i
cosv COSX
(II) + ^sin'ju-f- ica (cosv cosX—cosp) c2 sin2v -f- 2#£(cosX cos/x — cosv ).
Dans cette expression, A représente la quantité i — cos2X — cos2p — cos'v H- i cosX cosp cosv.
La valeur de 4R2A peut s'exprimer en fonction des six arêtes du tétraèdre. Représentons, en effet, par a', b', c' les trois arêtes BC, CA, AB qui sont respective- ment opposées aux arêtes SA = a, SB = i , SC = c. Les triangles SBC, SCA, SAB nous donnent
a'*= b*-\-c2— 2bccosl, b'2— c2 -f- a}—
c'2 =. a2 -f- b2 — 2 a b cosv,
d'où nous tirons
COSv=r
5 C O S a = : ? COSv=r •
%bc r ica 2.ab
Substituons ces valeurs dans le second membre de l'équation (II) ; nous obtenons d'abord
4a2b2c2[a*sin'X -f- s>.£c(cospcosv — cosX)]
= 2b2b'2c2cfi — a*a" -4- {zb*c< — c*a*—a*b*)
— 2.c2c'2(a2b2
( 373 ) puis, par permutation circulaire, 4«5£2c*[62sin2fA -h 2c«(cosvcos> — cosp)]
C2Û2) ,
et
— cosv)]
Ajoutant ces trois dernières égalités membre à membre et réduisant, nous trouvons que le second membre de l'équation (II), multiplié par 4 «2i2c2 est égal à
il nous vient donc (III) R2 =
ou (IV)R'=J
2— a*a'<— bhb">—
Cette expression peut s'écrire sous forme de déterminant
( V )
Si l'on observe que le volume V du tétraèdre est donné par
O
a2
b2
c2
a2
o c12
b"
b2
c'2 o a'2
c2
b'2
a!2
o
( 3 ; 4 )
on trouve que
o d* b> c*
a* o c'* b'2
b* c1* o a"
c* b/2 an
(VI)
ou bien 24 VR
Posant
on a encore R = ^
aa! H- bb'-+~cc'— 2P2,
V*— ce').
Cette dernière expression a été donnée, sans démons- tration, par M. BRÀSSIKE, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, ire série, t. VI, p. 227, année 1847.
