N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G. F ONTENÉ
Volume d’un tétraèdre en fonction des arêtes ; démonstration géométrique
Nouvelles annales de mathématiques 4
esérie, tome 6 (1906), p. 530-531
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1906_4_6__530_0>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1906, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
( 53o )
[K13c]
VOLUME D'UN TÉTRAÈDRE EN FONCTION DES ARÊTES ; DÉMONSTRATION GÉOMÉTRIQUE;
PAR M. G. FONTENÉ.
Étant donné un tétraèdre ABCD, soient a, [3, y, S les coefficients barycentiques dont il faut affecter les som- mets pour que le barycentre soit le centre O de la sphère circonscrite. On a, pour tout point M de l'espace,
V a MA
2= X MO
2-+- const. ;
on détermine la constante en mettant M au point O, et l'on a
V aMA = X(MO
2-h R
2).
Si l'on met successivement le point M on A, B, C, D, en désignant par a, b, c les côtés du triangle ABC, et par a'\ b\ c' les longueurs DA, DB, DC, on a
(3c
2 -+- y 6* -+- 8a'2= 2XR
2,
ac2 -hY«2-hô&'2 = 2XR2,on a d On
'ailleurs a donc
0
c2
62
a'2 1
a -+-
c2
0
a2
b '»
&2
a2 0
c'2 1
Y "+" ^
a'2
c'2 0
1
> = X .
2R2
2R*
2 R2
2 R2
( 53, ) o u
0 C*
b*
a'*
i
c*
o a*
b'*
i
62 a2
o c'*
I
a'*
O I
I I I I 0
0
c2 6*
a '2
c*
o a * 6'2
62 a2
0 c'2
a'2 6'2
c'2
o
Si l'on multiplie les lignes de ce dernier détermi- a b c a b c
nant par —, j-r, -,, - , -n -> puis les trois premières co-
r a b c a b c ' ' . 6' c' c'
lonnes par ^ y —
r b e c valeur, on obtient
. b c c a a b . ,
lonnes par ^ y , — T> ce qui ne change pas sa
v b c c a a b ^ or
o cc' bb'
cc o aa'
bb' aa' o
aa bb' ce' aa' bb' ce' ou
— ( aa' -+• bb' -+- ce' ) ( bb' -+- ce' — a a ' ) ( ce' -i- a a ' — 66' ). . . , o u , d'après la formule de Brassine (*),
— i 6 x ( 6 V R ) * . O n a donc
= A ,
en appelant A le déterminant qui est multiplié par 2R2
dans la relation écrite plus haut.
C'est la formule cherchée.
( l) La formule de Brassine {Nouvelles Annales, 1847, p. 226) a été retrouvée par de Staudt {Ibid., 1869, p. 441)- J>a* montré ailleurs que cette formule s'obtient en transformant par rayons vecteurs réciproques la formule S — \Jp{p — «)• •. ; or il me semble main- tenant que j'ai vu autrefois cette démonstration dans les Nouvelles Annales.
