Note relative au rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre, en valeur des arêtes

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G. D ^OSTOR

Note relative au rayon de la sphère

circonscrite au tétraèdre, en valeur des arêtes

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 13 (1874), p. 523-527

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NOTE RELATIVE All RAYON DE LA SPHÈRE CIRCONSCRITE AU TÉTRAÈDRE, EN VALEUR DES ARÊTES

( yoir 2e série, t. XII, p. 370);

PAR M. G. DOSTOR, Docteur es sciences.

1. L'expression, sou$ forme 4e déterminant, du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre, en fonction des six

( 5 * 4 )

arêtes de ce tétraèdre, peut s'obtenir immédiatement au moyen de l'équation (I) de la page 371. En effet, cette équation

b c a

b a

1

cosv

COS {A

cosv

1

COSpt cos>>

donne d'abord

4R'

I COSV COS p.

COSV I COSX

cos p. cos"X 1

a

1

b cosv

C COSfX

COSV COSfx

1 cos"X ^{= O.}

Si nous multiplions par les quantités respectives a, 6, c d'abord les trois dernières colonnes, puis les trois dernières lignes du second membre, et que nous remar- quions que le facteur de 4^% multiplié par a²è*c² ou cffrc* A% est égal à 36V2, nous voyons que

o a² b²

a2 a2 ab cosv

b"1 ab cosv b2 becosl c² cacosp. bc cos \ c¹

Dans ce déterminant, retranchons la première colonne de chacune des trois suivantes, multiplions ensuite les trois dernières lignes par — 2 et divisons la première colonne résultante par — 2, il nous vient

o a'

2C2 — 2C<ZC0Sp. 2 C2 —

-2&CC0SX O

Ajoutons actuellement la première ligne à chacune des trois suivantes, et retranchons de même la première co-

lonne des trois suivantes, n o u s trouvons que

o a2 b% c*

a2 o a2-hb*—2 ab cosv c2-î-a2—2 ca cos p

—2.abcos\

o b% aï-hb2—2fl£cosv o

c2 c2-\-a2—ica cos y. b2-\-c2—2,bccos\

Dans ce déterminant, il nous suffira de remplacer les éléments £2 -4- c5— a i c c o s i , c*-\-a*—acacos^, a2 4- è2—aaècosv par les carrés des arêtes latérales a', S', c', pour avoir l'équation demandée

(I)

a2 b2 c2 2 o c " £J

' c12 o Û2

2 ^2 a _o

2. Autre f orme de ce déterminant. — Multiplions les trois dernières colonnes par les quantités respectives

&2c% c2a% <22ft% le déterminant sera multiplié par le produit J2c2.c2a2,a2&2 = akbkck, et nous obtiendrons

o a7b3c2 aïfrc'1 a2b7c2 H2 O Cl C G CL V U 2

b2 b2c2c'2 o b2a2a'*

c* c2b2b'2 c7a2a12 o

divisons ensuite les quatre lignes respectivement par a*b*c*, a?, £2, c2$ le déterminant sera divisé par le pro- duit a%bwcw, et il nous viendra aussi

(II)

o

I I I

I

o c V2

b2b12 i

c7c"

o a2a'2

i

b*b12

a2 a!2

o

(5*6)

3. Troisième forme de déterminant (I). — Dans ce dernier déterminant, multiplions les quatre lignes par les quantités respectives aat bV cd, aa\ bb\ cd ; le déter- minant se trouve multiplié par le produit a1 an b*bfi c1d*, de sorte que nous avons

o aa' bb1

cd aa'

bb cd

bb'cd o 'cVs

b*V2

aa' bb' cd aa!c2d2

o cda2a'2

aa' aa' bb'

bb'cd b2b'2

a'a'2

o Divisons ensuite les trois dernières colonnes respecti- vement par bb'cc\ cc^faa\ aa^fbb^f\ le déterminant se trouve divisé par le produit a²a^/2&²Z>^/2c²c'², et nous trouvons encore que

» aa' bb' cd i' o cd bb' bb' cd o aa' cd bb' aa' o (III)

4. Transformation du déterminant en produit. — Dans ce dernier déterminant, remplaçons la première colonne par la somme des quatre colonnes ; le détermi- nant ne change pas de valeur, et il vient, en divisant la première colonne résultante par aa1 -H b b1 -H CC\

aa' aa' aa1

fl'H O

-f bb' -hbb' + bb'

-bb'-\

-f-cr¹ -t- cd + cd

-cd)

aa1

o cd bb' o

I I I

bb' cd

o aa' aa'

0 cd bb'

cd bb' aa'

o bb' cd

o a a'

cd bb' aa'

0

Donc le déterminant (III) est divisible par aa' -\-bb' -\-ce1.

Dans le même déterminant, de la somme des deux premières colonnes retranchons la somme des deux dernières ; nous obtenons

aa' — bb' — ce' aa' aa' — bb'— cc' o bb' H- ce' — aa' ce bh' -f- ce' — aa' bb'

bb' ce' ce' bb' o aa aa' o i aa' bb1 ce' i o cc' bb'

— \ cc' o aa'

— i bb' aa1 o par suite, le déterminant est aussi divisible par

bb1 -f- cd — aa'.

On verrait de même qu'il est encore divisible par ce' -haa' — bb',

et par

aa' -+- bb'—cc'.

On peut donc écrire

676 V2R2 = (aa'-¥bb' -h ce') {bb1 -f- ce' — aa1 ) X {ce' H- aa! — bb') [aa' -f- bb' — ce') X q.

Or, dans le déterminant (III), le produit des éléments situés sur la diagonale de droite à gauche est — cV*; il est aussi — ckcn dans le produit des facteurs qui pré- cèdent q\ donc on a q = 1, de sorte que

( 576V'R² = (flfl'-t- bb' -f- ce') {bb'-h ce' — aa')

\ X {ce' -haa' — Ó&') (aa'-f- bb' — ce9).