D10587. Trois distances
La première est la distance du sommetA au côtéBC du triangleABC, les deux autres sont les distances de A aux tangentes en B et en C au cercle circonscrit. Montrer que la première est la moyenne géométrique des deux autres.
Solution
L’angle de la tangente enB avecBAest la limite de l’angle (P B, P A) quand P, point du cercle circonscrit, tend versB; cet angle est constant et égal à (CB, CA). Ainsi la distance deA à cette tangente estABsinC.
De même, la distance de Aà la tangente en C est ACsinB.
Le produit de ces distances est égal au produitABsinB×ACsinC de deux facteurs égaux à la distance deA à BC.
