(suite du chapitre 8)
Propriété
Probabilités conditionnelles :relations entre les probabilités dans le cas général : P(A∩B) =P(B)×PB(A) soit aussi PB(A) =P(A∩B)
P(B)
. . .
Événements indépendants.
Exemple 1 Trois usines fabriquent des ampoules. L’usineX en fabrique 20 %, l’usineY, 50 %, et l’usineZ en fabrique 30 %.
La probabilité qu’une ampoule de l’usineX soit bonne est 0,9, celle qu’une ampoule de l’usineY soit bonne est 0,96, et celle qu’une ampoule de l’usineZ soit bonne est 0,8.
On choisit une ampoule au hasard dans l’ensemble de la production.
On noteX l’événement "L’ampoule est fabriquée dans l’usineX.",Y l’événement "L’ampoule est fabriquée dans l’usineY." et Z l’événement "L’ampoule est fabriquée dans l’usineZ." Enfin on noteB l’événement "L’ampoule est bonne".
1. Traduire les données de l’énoncé par des probabilités.
2. Calculer la probabilité qu’une ampoule vienne de l’usineX et soit bonne.
3. Calculer la probabilité qu’une ampoule vienne de l’usineY et soit bonne.
4. Compléter le tableau suivant
B B Total
X Y Z
Total 100 %
5. En déduire la probabilité que l’ampoule soit bonne.
6. ComparerP(B)et les probabilités conditionnellesPX(B),PY(B),PZ(B).
7. Donner une relation entreP(B),P(X)etP(X∩B).
Propriété
Deux événementsA etB sont ditsindépendantssi et seulement si P(A) =PB(A)
ou P(A∩B) =P(A)×P(B)
Exemple 2 La probabilité d’un évènement A est de0,5, celle de B est de0,2, la probabilité queAetBse réalisent simultanément est de0,15.
1. Les événementsAetBsont-ils indépendants ?
2. L’événementB est supposé réalisé, calculer alors la probabilité queAse réalise.
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Exemple 3 Dans un sac contenant 24 jetons, numérotés de 1 à 24, on tire au hasard un jeton.
On considère les événementsT : "Obtenir un multiple de 3",S : "Obtenir au moins 15", etP : "Obtenir un nombre pair".
1. CalculerP(T),P(S), etP(T∩S)
2. Les événementsS etT sont-ils indépendants ?
3. CalculerPP(T)après l’avoir défini par une phrase.
4. Les événementsP etT sont-ils indépendants ?
5. Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair ou un multiple de 3.
Exemple 4 La grippe a attaqué la cité scolaire au mois de janvier. On sait que 50 % des lycéens et 20 % des collégiens l’ont eue.
On choisi un élève au hasard dans la cité scolaire, il parait qu’il y a 1 chance sur 10 que ce soit un lycéen qui a eu la grippe. On considère les événementsL: "être lycéen",G: "avoir eu la grippe".
1. Traduire les données de l’énoncé par des probabilités.
2. Calculer la probabilité qu’un élève pris au hasard soit un lycéen. (on pourra s’aider d’un arbre)
3. Calculer la probabilité qu’un élève pris au hasard ait eu la grippe.
4. Les événementsLetGsont-ils indépendants ?
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