e 0 ∗ S = LJ ¬ ( A ∧ B ) 6⊢ ¬ A ∨¬ B LJ p ¬ ( A ∧ B ) 6⊢ ¬ A p ∈ N p ¬ ( A ∧ B ) ,qA ⊢ p ¬ ( A ∧ B ) ,qA ⊢ Bp ¬ ( A ∧ B ) ,qA ⊢ A ∧ B LJ p,q ∈ N p Φ p Φ p Φ LJ LK ¬ ( A ∧ B ) ⊢ ¬ A ∨¬ B ⊢ ( P → Q ) → (( P ∨ R ) → ( Q ∨ R )) LJ ⊢ ( ∀ x ∃ y ( P ( x ) → Q (

Masterd'Informatique 1,2010/2011

LOGIQUE

Sujet de ontrle ontinu- 29Novembre 2010

Durée: 1H 30

Doumentsautorisés :notesde ours,feuilles etnotes deTD.

Indiations: Les 3 exeries sont indépendants. Dans haque exerie, on peut admettre le

résultat de ertaines questions (en le mentionnant lairement sur la opie), puis utiliser e

résultat danslasuite de l'exerie.

Exerie 1(sur 4points)

1-Donner despreuvesdansLK ^{desséquents:}

⊢(((P ∧Q)→R)∧(¬P ∨Q)) → (P →R)

⊢(∀x∃y(P(x)→Q(y))) → ((∀x P(x)) → (∃y Q(y)))

2-Donner une preuve dansLJ^{du séquent :}

⊢(P →Q) → ((P ∨R)→(Q∨R))

Exerie 2(sur 8points)

1-Montrer que

¬(A∧B)⊢^LK¬A∨ ¬B

On herhe maintenant à démontrer, par une méthode syntaxique, que e séquent n'est

pasprouvabledansLJ^.

2-On rappelle que, pour tout entier p ^etformule Φ^,pΦ ^{désigne le} multi-ensemble onstitué de p ^{foislaformule}Φ^.

Montrer que, pour tous entiers p, q ∈ N, aun des trois séquents i-dessous n'est prouvable dansLJ ^:

p¬(A∧B), qA ⊢ p¬(A∧B), qA ⊢ B p¬(A∧B), qA ⊢ A∧B

Aide:onsidérerlapluspetitepreuvesansoupured'unséquent del'unedesestroisformes.

3-Montrer que,pour toutentier p∈N:

p¬(A∧B) 6 ⊢LJ ¬A

4-Montrer que:

¬(A∧B) 6 ⊢LJ ¬A∨ ¬B

Exerie 3(sur 20 points)

Ononsidère danset exerie la signature S ^{formée du symbole de prédiat} =^{(symbole de}

l'egalité, d'arité 2) d'un symbolde de fontion ∗ ^(symbole d'opération binaire, d'arité 2) et d'unsymbole de onstante e^(d'arité 0^{). Onrappelle les théories(i.e. ensembles de formules)}

REF :∀x x=x

SYM:∀x∀y (x=y→y=x)

TRANS:∀x∀y∀z (x=y∧y=z)→x=z

COMPF:∀x¹∀x²∀y¹∀y² (x¹ =y1∧x2 =y2)→x1∗x2=y1∗y2

MO (Théoriedes monoïdes)

Touslesaxiomes i-dessusdeEG^;

ASS:∀x∀y∀z x∗(y∗z) = (x∗y)∗z

NE:∀x (x∗e=x ∧ e∗x=x)

1-Montrer quelarègle suivante est une règledérivée deLK ^: Γ, A⊢D Γ, B⊢D Γ, C ⊢D

Γ, A∨B∨C ⊢D

∨∨

g

2-Montrer queles quatrerèglessuivantes sont desrèglesdérivées deLK ^: Γ,EG⊢x=x^REF

Γ,EG⊢x=y Γ,EG⊢y=x^{SY M}

Γ,EG⊢x=y Γ,EG⊢y=z

Γ,EG⊢x=z ^{T RAN S} Γ,EG⊢x1 =y1 Γ,EG⊢x2 =y2

Γ,EG⊢x1∗x2 =y1∗y2

COM P

3-Montrer que, pour touttermet^{,les deuxrèglessuivantessont desrègles dérivéesde} LK^. MO⊢t∗e=t^{N D} MO⊢e∗t=t^{N G}

OnajouteàMOl'axiome suivant CAR2 :∀x, y, z x=y∨x=z∨y=z

quiexprimequeleardinaldumonoide estinférieurouégalà2.OnnoteMO2l'ensemblede

formules ainsiobtenu.

4-DonnerunepreuvedansLK^{,augmentédesrèglesdérivéesdesquestions1,2,3,duséquent :} MO2⊢e = x∨e = x∗x∨x = x∗x

5-DonnerunepreuvedansLK^{,augmenté desrèglesdérivéesdesquestions1,2,3,desséquents}

suivants:

MO2⊢e = x∗x→x = x∗(x∗x) MO2⊢x = x∗x→x = x∗(x∗x) MO2⊢e = x→x = x∗(x∗x)

6-Montrer que:

MO2⊢ ∀x x = x∗(x∗x)

7-Pouvez-vousonstruire une struture A^{qui interprète lasignature}S ^ettelleque A |== MO2^etA |== ∀x e = x∗x

8-Pouvez-vousonstruire une struture A^{qui interprète lasignature}S ^ettelleque A |== MO2^etA |== ¬∀x e = x∗x

9-Le séquent

MO2⊢ ∀x e = x∗x

est-ilprouvabledansLK^?

Aide:Ondonneraun argument sémantique.