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e 0 ∗ S = LJ ¬ ( A ∧ B ) 6⊢ ¬ A ∨¬ B LJ p ¬ ( A ∧ B ) 6⊢ ¬ A p ∈ N p ¬ ( A ∧ B ) ,qA ⊢ p ¬ ( A ∧ B ) ,qA ⊢ Bp ¬ ( A ∧ B ) ,qA ⊢ A ∧ B LJ p,q ∈ N p Φ p Φ p Φ LJ LK ¬ ( A ∧ B ) ⊢ ¬ A ∨¬ B ⊢ ( P → Q ) → (( P ∨ R ) → ( Q ∨ R )) LJ ⊢ ( ∀ x ∃ y ( P ( x ) → Q (

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Masterd'Informatique 1,2010/2011

LOGIQUE

Sujet de ontrle ontinu- 29Novembre 2010

Durée: 1H 30

Doumentsautorisés :notesde ours,feuilles etnotes deTD.

Indiations: Les 3 exeries sont indépendants. Dans haque exerie, on peut admettre le

résultat de ertaines questions (en le mentionnant lairement sur la opie), puis utiliser e

résultat danslasuite de l'exerie.

Exerie 1(sur 4points)

1-Donner despreuvesdansLK desséquents:

⊢(((P ∧Q)→R)∧(¬P ∨Q)) → (P →R)

⊢(∀x∃y(P(x)→Q(y))) → ((∀x P(x)) → (∃y Q(y)))

2-Donner une preuve dansLJdu séquent :

⊢(P →Q) → ((P ∨R)→(Q∨R))

Exerie 2(sur 8points)

1-Montrer que

¬(A∧B)⊢LK¬A∨ ¬B

On herhe maintenant à démontrer, par une méthode syntaxique, que e séquent n'est

pasprouvabledansLJ.

2-On rappelle que, pour tout entier p etformule Φ,désigne le multi-ensemble onstitué de p foislaformuleΦ.

Montrer que, pour tous entiers p, q ∈ N, aun des trois séquents i-dessous n'est prouvable dansLJ :

p¬(A∧B), qA ⊢ p¬(A∧B), qA ⊢ B p¬(A∧B), qA ⊢ A∧B

Aide:onsidérerlapluspetitepreuvesansoupured'unséquent del'unedesestroisformes.

3-Montrer que,pour toutentier p∈N:

p¬(A∧B) 6 ⊢LJ ¬A

4-Montrer que:

¬(A∧B) 6 ⊢LJ ¬A∨ ¬B

Exerie 3(sur 20 points)

Ononsidère danset exerie la signature S formée du symbole de prédiat =(symbole de

l'egalité, d'arité 2) d'un symbolde de fontion(symbole d'opération binaire, d'arité 2) et d'unsymbole de onstante e(d'arité 0). Onrappelle les théories(i.e. ensembles de formules)

(2)

REF :∀x x=x

SYM:∀x∀y (x=y→y=x)

TRANS:∀x∀y∀z (x=y∧y=z)→x=z

COMPF:∀x1∀x2∀y1∀y2 (x1 =y1∧x2 =y2)→x1∗x2=y1∗y2

MO (Théoriedes monoïdes)

Touslesaxiomes i-dessusdeEG;

ASS:∀x∀y∀z x∗(y∗z) = (x∗y)∗z

NE:∀x (x∗e=x ∧ e∗x=x)

1-Montrer quelarègle suivante est une règledérivée deLK : Γ, A⊢D Γ, B⊢D Γ, C ⊢D

Γ, A∨B∨C ⊢D

∨∨

g

2-Montrer queles quatrerèglessuivantes sont desrèglesdérivées deLK : Γ,EG⊢x=xREF

Γ,EG⊢x=y Γ,EG⊢y=xSY M

Γ,EG⊢x=y Γ,EG⊢y=z

Γ,EG⊢x=z T RAN S Γ,EG⊢x1 =y1 Γ,EG⊢x2 =y2

Γ,EG⊢x1∗x2 =y1∗y2

COM P

3-Montrer que, pour touttermet,les deuxrèglessuivantessont desrègles dérivéesde LK. MO⊢t∗e=tN D MO⊢e∗t=tN G

OnajouteàMOl'axiome suivant CAR2 :∀x, y, z x=y∨x=z∨y=z

quiexprimequeleardinaldumonoide estinférieurouégalà2.OnnoteMO2l'ensemblede

formules ainsiobtenu.

4-DonnerunepreuvedansLK,augmentédesrèglesdérivéesdesquestions1,2,3,duséquent : MO2⊢e = x∨e = x∗x∨x = x∗x

5-DonnerunepreuvedansLK,augmenté desrèglesdérivéesdesquestions1,2,3,desséquents

suivants:

MO2⊢e = x∗x→x = x∗(x∗x) MO2⊢x = x∗x→x = x∗(x∗x) MO2⊢e = x→x = x∗(x∗x)

6-Montrer que:

MO2⊢ ∀x x = x∗(x∗x)

7-Pouvez-vousonstruire une struture Aqui interprète lasignatureS ettelleque A |== MO2etA |== ∀x e = x∗x

8-Pouvez-vousonstruire une struture Aqui interprète lasignatureS ettelleque A |== MO2etA |== ¬∀x e = x∗x

9-Le séquent

MO2⊢ ∀x e = x∗x

est-ilprouvabledansLK?

Aide:Ondonneraun argument sémantique.

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