A564 – Les premiers montent au premier
À tout entier n de la forme n = paqbrc... avec p, q, r,… facteurs premiers et a, b, c,...
exposants > 0, on associe l’entier f(n) défini par f(n) = apbqcr.. expression dans laquelle les facteurs premiers et les exposants de n opèrent un chassé-croisé. Exemple n = 8 = 2³, d’où f(n) = 3² = 9.
On définit par récurrence fi(n) tel que fi(n) = f(fi-1(n)) avec f¹(n) = f(n). Par exemple n = 24 = 2³.3¹. On a f(24) = 3².1³ = 3² = 9, f²(24) = f(9) = 2³ = 8, f³(24) = f(f²(24) ) = f(8) = 3² = 9,etc...
Q₁ Trouver un entier n tel que f(n) = 2012²⁰¹².
Q₂ Trouver un entier n tel que la séquence des fi(n)pour i = 1,2,... comporte au moins 15 termes tous distincts.
Solution par Patrick Gordon Q₁
f(n) = 20122012 = 24024 5032012
Les exposants n'ayant d'autres facteurs premiers que 2 et 503, on est induit à rechercher n sous la forme :
n = 2a 503b
où a et b eux-mêmes n'ont d'autres facteurs premiers que 2 et 503, soit :
a = 2p 503p' b = 2q 503q' On aura alors :
f(n) = a2 b503
soit, compte tenu de l'expression de a et b : f(n) = 22p+503q 5032p'+503q'
En identifiant avec f(n) = 24024 5032012, il faut donc résoudre en nombres entiers :
2p+503q = 4024 2p'+503q' = 2012 Une solution est :
p = 503 q = 6 p' = 503 q' = 2.
Il en résulte :
a = 2503 503503 = 1006503 b = 26 5032 = 40482 D'où :
n = 2a 503b
= 2^1006503 503^40482 Vérification :
f(n) = (1006503)2 (40482)503 = (1006 4048)1006 = (16 5032)1006 = (4 503) 2012 = 20122012 Q₂
La première remarque est que, si les exposants a, b, c... sont tous premiers et différents, la transformation "boucle" immédiatement.
Exemple :
n = 23 3557 f(n) = 32 5375 f²(n) = n.
On cherchera donc des exposants, soit premiers mais non différents, soit composés.
Une tentative avec a = b = … (premier) donne le résultat suivant (sur un exemple) :
n = 2a 3a5a f(n) = a10 f²(n) = 2a5a f3(n) =a7 f4(n) =7a
et ainsi de suite alternativement.
Une deuxième tentative consiste à prendre des exposants tous égaux mais composés.
On prendra des p, q, r… tels que leur somme soit un nombre composé, par exemple : 2, 3, 5, 7, 11 dont la somme est 28 = 2²7.
L'exposant commun sera noté uv (u et v premiers ≠ 2). Ainsi :
n = 2uv 3uv 5uv 7uv 11uv f(n) = u28 v28
f²(n) = 22(u+v) 7(u+v)
Mais u+v est pair, soit = 2w. On choisira (plus loin) u et v tels que w soit premier. On aura alors :
f²(n) = 24w 72w
f3(n) = (4w)² (2w)7 = 211 w9 f4(n) = 112 32w
f5(n) = 211 (2w)3 = 214 w3 f6(n) = 22 72 3w
f7(n) = 22 27 w3 = 29 w3 f8(n) = 92 3w = 3(w+4)
À ce stade, on choisira w tel que w + 4 soit composé. Par exemple :
u = 5 v = 17 w = 11 w + 4 = 15.
On peut donc continuer :
f8(n) = 315 f9(n) = 33 53 f10(n) = 38 f11(n) = 83 = 29 f12(n) = 92 = 34 f13(n) = 43 = 26 f14(n) = 62 = 22 32 f15(n) = 25
À partir de là, les fi(n) "bouclent" : alternativement 25 et 52.
Réintroduisant u = 5 et v = 17 dans l'expression de n, on a la solution : n = 285 385 585 785 1185
Vérification
Pour s'assurer que les 15 fi(n) sont bien tous différents, nous dressons le tableau récapitulatif suivant, où ils sont décomposés en facteurs premiers 2, 3, 5, 7, 11, 17, les cases donnant les exposants.
i 2 3 5 7 11 17
0 85 85 85 85 85
1 28 28
2 44 32
3 11 9
4 22 2
5 14 3
6 2 11 2
7 9 3
8 15
9 3 3
10 8
11 9
12 4
13 6
14 2 2
15 5