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Quelle est la nature du triangle ABC ? 2

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

- J -

Erercice 2 (5 points)

(Candidats n'ayant pas suivi I'enseignement de spécielité)

Soient a rm reel stictement positif.

et OABC un tétraèdrc tel que : r OAB, OAC et OBC sont des

triangles rectangles en O.

r O A - O B = O C = a -

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de I'espace défuri par Hô = OD.

3I!trA.OSMEl

l. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Démontrer que les droites (OFI) et (AB) sont orthogonales, puis que H est I'ordrocente du triangle ABC.

3. Calcul de OH.

a. Calculer le volwne V du tétraèdre OABC puip I'aire S du triangle ABC.

à. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = o!! -' 3 4. Étude du tetraedre ABCD.

L'espace est rapporté au repÈre orrhonorm"f [O ;16;,1æ,.1æ).

\ a a o )

a. Démonter que le point H a pour coordonnées ( :-, l. l-\ .

\ 3 3 3 )

à. Démontrer que le ætraèdre ABCD est régulier (c'estâ-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).

c. Soit O le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.

Démonter que o est un point de ta droite (otr) puis calculer ses coordonnées.

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