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Erercice 2 (5 points)
(Candidats n'ayant pas suivi I'enseignement de spécielité)
Soient a rm reel stictement positif.
et OABC un tétraèdrc tel que : r OAB, OAC et OBC sont des
triangles rectangles en O.
r O A - O B = O C = a -
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de I'espace défuri par Hô = OD.
3I!trA.OSMEl
l. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Démontrer que les droites (OFI) et (AB) sont orthogonales, puis que H est I'ordrocente du triangle ABC.
3. Calcul de OH.
a. Calculer le volwne V du tétraèdre OABC puip I'aire S du triangle ABC.
à. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = o!! -' 3 4. Étude du tetraedre ABCD.
L'espace est rapporté au repÈre orrhonorm"f [O ;16;,1æ,.1æ).
\ a a o )
a. Démonter que le point H a pour coordonnées ( :-, l. l-\ .
\ 3 3 3 )
à. Démontrer que le ætraèdre ABCD est régulier (c'estâ-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
c. Soit O le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.
Démonter que o est un point de ta droite (otr) puis calculer ses coordonnées.