Corrigé Devoir maison n° 7 Terminale S spécialité Exercice 1 : On considère le triangle direct ABC rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.
1. La figure sous GeoGebra :
2. On note I et J les centres des cercles inscrits des triangles AHB et AHC.
a) Les triangles AHB et AHC ont un côté commun [AH], les angles AHB et AHC de même mesure; les angles HAB et ACH sont complémentaires du même angle CAH , donc ils sont de même mesure. Donc les troisièmes angles HBA et CAH sont de même mesure. Donc les triangles AHB et AHC sont semblables.
De plus, les angles orientés (HA ; HB ) et (HC ; HA ) sont égaux. Ainsi, il existe une similitude directe s qui transforme AHB en AHC.
b) Le centre de s est le point H; l'image de A est le point C et l'image de B est le point A.
Comme (HA ; HC ) =
2 , alors l'angle de s est
2 . Le rapport de s est égal à HC HA = HA
HB .
c) Une similitude directe conserve les angles, donc l'image d'une bissectrice est une bissectrice, donc l'image du point d'intersection de deux bissectrices est le point d'intersection des bissectrices images. Ainsi, s(I) = J.
d) Si s(I) = J, alors HJ HI = HA
HB et (HI ; HJ ) =
2 . Donc le triangle HIJ est rectangle en H.
3. On sait que s(B) = A et que s(I) = J, donc l'image de la droite (BI) par s est la droite (AJ). Donc les droites (BI) et (AJ) sont perpendiculaires.
4. La droite (HJ) est la bissectrice de l'angle AHC qui est un angle droit, donc AHJ =
4 . De même, BHI = 4 . Donc le centre de la similitude s' qui transforme HIJ en AHB est H et l'angle égal
4 .
5. L'image de la droite (IJ) par s' est la droite (AB), donc l'angle entre les droites (IJ) et (AB) est égal à l'angle de la similitude s', soit
4 .
6. Si K est le centre du cercle inscrit du triangle ABC, alors K est sur la bissectrice de HBA , ainsi que le point I, centre du cercle inscrit de AHB. Donc les points B, I et K sont alignés.
Exercice 2
On considère deux cercles (C) et (C') de même rayon et de centres respectifs O et O'. A est sur (C) et A' est sur (C') tel que les vecteurs OA et O' A' sont distincts.
A tout point M de (C) on associe le point M' de (C') tel que OA;OM = O' A';O' M'. 1.La figure sous GeoGebra :
2. On considère le repère orthonormé (O; u, v) tel que u = 1
OA OA .
Les affixes des points O, A, O' et A' sont respectivement 0, a réel > 0, g et a'.
Les affixes de M et M' sont respectivement z et z'.
On sait que arg(z) = argaz = OA;OM = O' A';O' M' = argz 'a 'gg.
De plus, OM
OA = O' M'
O' A' = 1, puisque A et M sont sur le cercle (C) de centre O, et A' et M' sont sur le cercle (C') de centre O' de même rayon que (C). Ainsi z
a = z 'g
a 'g, d'où z' – g = (a' – g) z
a , soit z' = a 'g
a z + g qui est l'écriture
complexe d'une similitude : a 'a g = O' A'OA = 1. Donc cette similitude est une isométrie.
De plus, arga 'ga = OA;O' A ' qui est fixe. Donc, il s'agit d'une rotation d'angle OA;O' A '. L'image de A : z' = a 'g
a a + g = a' , donc l'image de A par cette rotation est A'.
3. Notons le centre de la rotation r, d'affixe . Alors = a 'g a
+ g, soit – g = a 'g a
, et en module
| – g| = a 'a g| |, soit | – g| = | |, équivalent à O' = O . Donc est sur la médiatrice de [OO'].
De plus, a' – = a 'g
a (a – ), donc |a' – |= |a – |, équivalent à A' = A . Donc est sur la médiatrice de [AA']. Le centre de la rotation est le point d'intersection des médiatrices de [OO'] et [AA'].
Ce point est un point fixe de [MM'].
4. Soit zI l'affixe de I milieu de [MM']. Alors zI = zz '
2 = za 'g a
zg 2
= aa 'g 2a
zg
2 , qui est l'écriture complexe d'une similitude directe s'.
Donc I est l'image de M par cette similitude, ainsi le lieu de I lorsque M décrit le cercle (C) est un cercle de centre O'' image de O par s' et de rayon O''I = aa '2agOM.
L'affixe de s'(O) = O'' est zO'' = g
2 qui est l'affixe du milieu de [OO']. Donc O'' est le milieu de [OO'].
