D10125. Triangle aux carr´ es
Sur chacun des 3 cˆot´es BC, CA, AB d’un triangle quelconque et ext´erieu- rement, on construit 3 carr´es dont les centres sont P, Q etR.
Montrer que les segmentsP Q etCR sont ´egaux et orthogonaux.
Solution
On peut passer deP Q `a CR par une transformation qui est le produit de deux similitudes : SC de centre C, de rapport √
2 et d’angle −π/4 (si le triangleABC est de sens direct), transformeP en B etQenK, sym´etrique de A par rapport `a Q; puis SA de centre A, de rapport p1/2 et d’angle
−π/4 transformeB en R etK en C.
Le produitSASC est une similitude de rapport 1 et d’angle−π/2, c’est donc une rotation d’un angle droit. Le segment RC, transform´e de P Q, lui est donc ´egal et orthogonal.
Remarque. La droiteRC est une hauteur du triangleP QR, et de mˆemeP A etQB, ces 3 droites sont concourantes.
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