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Le triangle AEP rectangle en E est donc une demi triangle équilatéral

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Academic year: 2022

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D106 – A l’intérieur d’un triangle équilatéral Solution

Question n°1

On construit le triangle équilatéral PCF avec F de l’autre côté de AC par rapport à P. Les triangles ACF et CBP qui ont deux côtés égaux (AC=CB, CF=CP) et le même angle (ACF = BCP=60° - ACP) compris entre les deux côtés sont égaux. Il en résulte que AF=5 et que le triangle APF dont les côtés sont 3,4 et 5 est pythagoricien. L’angle APF est donc droit et l’angle APE vaut 180° - 90° -60° = 30°. Le triangle AEP rectangle en E est donc une demi triangle équilatéral. D’où AE=2 et PE=2 3. Par suite : AC =

2 2

2 CE 4 (3 2 3)

AE     =6,766…

Question n°2

On construit le rectangle ACC’A’ symétrique de ACSQ par rapport à AC et le carré AOO’A’

symétrique du carré AOPQ par rapport à AO. Les rectangles ACC’A’, OBRP et PQA’O’ sont tous égaux entre eux. Il en résulte que le rectangle CA’P est rectangle isocèle et que angle PCA’ = angle OCP + angle OCA’ = angle OCP + angle OBP = 45°

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