On étudie donc le signe de chacun des facteurs

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016 Devoir maison n^o02 – mathématiques

Correction

Exercice 1

Pour éviter de multiplier l’inéquation par des expressions dont on ne connaît pas le signe (xet3x−7), étant donné que x peut a priori prendre toute valeur de R, on rassemble tout à gauche en mettant au même dénominateur :

x−1

3x−7 6 x−4

x ⇔ x−1

3x−7 − x−4

x 60⇔ (x−1)x−(3x−7)(x−4) (3x−7)x 60

⇔ x²−x−(3x²−12x−7x+ 28)

(3x−7)x 60

⇔ x²−x−3x²+ 12x+ 7x−28 (3x−7)x 60

⇔ x²−x−3x²+ 12x+ 7x−28 (3x−7)x 60

⇔ −2x²+ 18x−28 (3x−7)x 60

⇔ −2(x²−9x+ 14) (3x−7)x 60

Il s’agit alors d’étudier le signe de E(x) = −2(x²−9x+ 14)

(3x−7)x , qui est sous forme de quotient et produits. On étudie donc le signe de chacun des facteurs. Pour les moins directs :

• 3x−7>0⇔x > 7

• x²−9x+ 14 : on calcule le discriminant3 ∆ = (−9)²−4×1×14 = 81−56 = 25 = 5² >0.

Il y a donc deux racines : x₁ = −(−9)−5

2 = 2 et x₂ = −(−9) + 5 2 = 7.

De plus,a= 1>0, donc l’expression est positive à l’extérieur des racines, négative autrement.

Par suite, on obtient le tableau de signe suivant : x

−2 x² −9x+ 14

3x− 7 x signe deE(x)

−∞ 0 2 7

3 7 +∞

− − − − −

+ + 0 − − 0 +

− − − 0 + +

− 0 + + + +

− + 0 − + 0 −

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’inéquation est S = ]−∞; 0[∪

2;7 3

∪[7; +∞[.

Exercice 2

On trouve les résultats suivants : 1. 31π

6 = −5π

6 + 3×2π; cos−5π

6 = −√ 3

2 etsin−5π

6 = −1 2 . 2. −13π

3 = −π

3 −2×2π;cos−π 3 = 1

2 etsin−π

3 = −√ 3 2 . 3. −31π

4 = π

4 −4×2π;cosπ 4 =

√2

2 etsinπ 4 =

√2 2 . 4. 38π

3 = 2π

3 + 6×2π; cos2π

3 = −1

2 et sin2π 3 =

√3 2