* On étudie en fonction du temps 𝑡 le déplacement d’une balle dans le plan rapporté à un repère orthonormé. A chaque instant 𝑡 ≥ 0, le vecteur vitesse de la balle a pour coordonnées (𝑓(𝑡)
𝑔(𝑡)).
On sait que : 𝑓(𝑡) = 𝑉𝐴𝑐𝑜𝑠 𝛼 et 𝑔(𝑡) = 𝑉𝐴𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑔 × 𝑡 où 𝑉𝐴, 𝛼 et 𝑔 sont trois réels fixés.
1- Donner toutes les primitives 𝐹 de 𝑓 et toutes les primitives 𝐺 de 𝑔 (on rappelle que la variable est 𝑡).
NB : 𝐹(𝑡) et 𝐺(𝑡) correspondent aux coordonnées de la balle à l’instant 𝑡.
𝐹(𝑡) = 𝑉𝐴cos 𝛼 × 𝑡 + 𝑘 𝐺(𝑡) = 𝑉𝐴sin 𝛼 × 𝑡 −1
2𝑔 𝑡2+ 𝑘′
2- Sachant qu’à l’instant 𝑡 = 0, la balle se trouve en 𝐴( 0 ; 0,6 ), on doit avoir
𝐹(0) = 0 et 𝐺(0) = 0,6. Déterminer alors 𝐹 et 𝐺.
𝑉𝐴cos 𝛼 × 0 + 𝑘 = 0 → 𝑘 = 0 𝐹(𝑡) = 𝑉𝐴cos 𝛼 × 𝑡 𝐺(𝑡) = 𝑉𝐴sin 𝛼 × 𝑡 −1
2𝑔 𝑡2+ 0,6 𝑘′ = 0,6 3- On donne 𝑔 = 9,81 ; 𝑉𝐴 = 14 ; 𝛼 = 𝜋
6
a. Déterminer la position de la balle lorsque 𝑡 = 1.
On donnera des valeurs approchées à 10−1 près des coordonnées.
𝐹(1) = 𝑉𝐴cos 𝛼 × 1 ≈ 12,1 𝐺(1) = 𝑉𝐴sin 𝛼 × 1 −1
2𝑔 × 12+ 0,6 ≈ 2,7
b. On suppose que la balle se dirige vers un but de hauteur ℎ = 2 (schéma ci-dessous) :
La balle entre-t-elle dans le but ?
𝐹(𝑡) = 𝑉𝐴cos 𝛼 × 𝑡 = 14 → 𝑡 = 14
𝑉𝐴cos 𝛼= 14 14 ×√3
2
=2 √3 3
𝐺 (2 √3
3 ) = 𝑉𝐴sin 𝛼 ×2 √3 3 −1
2𝑔 ×4
3+ 0,6 ≈ 2,14
Il n’y a pas buuuuuuuuuuuuuuuuuuuut…….. Ce devait être un joueur du PSG !!!
Exercice :
Pour chacune des fonctions 𝑓 ci-dessous, donner un intervalle 𝐼 sur lequel 𝑓 a des primitives et donner toutes les primitives de 𝑓 sur 𝐼.
𝐚. 𝑓(𝑥) = 𝑥7
𝐹(𝑥) =1
8𝑥8+ 𝑘
𝐛. 𝑓(𝑥) = 1
𝑥3 = 𝑥−3
𝐹(𝑥) = 1
−3 + 1𝑥−3+1 + 𝑘 𝐹(𝑥) = − 1
2𝑥2+ 𝑘 → −1
2×−2 𝑥3 = 1
𝑥3
𝐜. 𝑓(𝑥) =𝑥4 + 1 𝑥2
𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 1 𝑥2+ 𝑘 𝐹(𝑥) =1
3𝑥3 −1 𝑥+ 𝑘
Exercice :
Pour chacune des fonctions 𝑓 ci-dessous, donner toutes les primitives de 𝑓 sur un intervalle 𝐼 à déterminer.
𝐚. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 𝑥 +2 𝑥
𝐹(𝑥) =5
3𝑥3 +1
2𝑥2 + 2 ln 𝑥 + 𝑘
𝐛. 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝐹(𝑥) = −3 cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 + 𝑘
𝐜. 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥+ 4 3
𝐹(𝑥) =𝑒𝑥+ 4𝑥 3 + 𝑘
Exercice :
1- Donner une primitive de la fonction 𝑓 et préciser un intervalle 𝐼 sur lequel cette primitive est définie.
𝐚. 𝑓(𝑥) = 2(2𝑥 + 1)3 = 2 × (2𝑥 + 1)3
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′𝑢𝑛 → 1
𝑛+1𝑢𝑛+1 𝐹(𝑥) = 1
3+1(2𝑥 + 1)3+1 = 𝟏
𝟒(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒 définie sur ℝ
𝐛. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠3(𝑥) = −(− sin 𝑥) × cos3(𝑥)
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′𝑢𝑛 → 1
𝑛+1𝑢𝑛+1
𝐹(𝑥) = − 1
3 + 1cos4(𝑥) = −𝟏
𝟒𝐜𝐨𝐬𝟒(𝒙) définie sur ℝ
𝐜. 𝑓(𝑥) = 3𝑥
√𝑥2 + 1=3
2× 2𝑥
√𝑥2+ 1 J’utilise la primitive suivante : 𝑢′
√𝑢→ 2 √𝑢 𝐹(𝑥) = 3
2× 2 √𝑥2 + 1 = 𝟑 √𝒙𝟐+ 𝟏 définie sur ℝ
𝐝. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
𝑥2+ 4𝑥 + 3= 1
2× 2𝑥 + 4 𝑥2+ 4𝑥 + 3 J’utilise la primitive suivante : 𝑢′
𝑢 → ln|𝑢| oui oui car 𝑢(𝑥) > 0 sinon il faut mettre −𝑢(𝑥).
𝐹(𝑥) =1
2ln(𝑥2+ 4𝑥 + 3) définie sur ] − ∞ ; −3 [ ∪ ] − 1 ; +∞[
𝐹(𝑥) = 1
2ln(−𝑥2− 4𝑥 − 3) définie sur ] − 3 ; −1 [
𝐞. 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥+1 =1
3× 3 𝑒3𝑥+1
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′𝑒𝑢 → 𝑒𝑢
𝐹(𝑥) = 𝟏
𝟑 𝒆𝟑𝒙+𝟏 définie sur ℝ
𝐟. 𝑓(𝑥) =2𝑥2 + 3𝑥 + 5
𝑥 = 2𝑥 + 3 +5 𝑥
𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 + 𝟓 𝐥𝐧 𝒙 définie sur ℝ
𝐠. 𝑓(𝑥) =ln(𝑥) 𝑥 = 1
𝑥× ln 𝑥
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′𝑢 →1
2𝑢2 𝐹(𝑥) = 𝟏
𝟐 (𝒍𝒏 𝒙)𝟐 définie sur ℝ+∗
2- Donner l’ensemble des primitives de la fonction 𝑓 sur ℝ ; 𝐚. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑒𝑥+ 1
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′
𝑢 → ln|𝑢| oui oui car 𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥+ 1 > 0 𝐹(𝑥) = 𝒍𝒏 (𝒆𝒙+ 𝟏) + 𝒌 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒌 ∈ ℝ
𝐛. 𝑓(𝑥) = 1
𝑒𝑥 = 𝑒−𝑥 = −(−𝑒−𝑥)
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′𝑒𝑢 → 𝑒𝑢 𝐹(𝑥) = −𝑒−𝑥+ 𝑘 = − 𝟏
𝒆𝒙+ 𝒌 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒌 ∈ ℝ
Exercice :
Soit, pour 𝑛 entier naturel, 𝐼𝑛 = ∫ 𝑥2𝑛+1 1 + 𝑥²𝑑𝑥
1
0
𝟏 − Calculer 𝐼0
𝐼0 = ∫ 𝑥 1 + 𝑥²𝑑𝑥
1 0
= [1
2× ln(1 + 𝑥2)]
0 1
=1
2× ln(1 + 12) −1
2× ln(1 + 02) =𝟏 𝟐𝐥𝐧 𝟐
𝟐 − Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 𝐼𝑛+ 𝐼𝑛+1 = 1 2𝑛 + 2
𝐼𝑛 + 𝐼𝑛+1 = ∫ 𝑥2𝑛+1
1 + 𝑥²𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2𝑛+3 1 + 𝑥²𝑑𝑥
1 0 1
0
= ∫ 𝑥2𝑛+1+ 𝑥2𝑛+3 1 + 𝑥² 𝑑𝑥
1 0
= ∫ 𝑥2𝑛+1(1 + 𝑥2) 1 + 𝑥2 𝑑𝑥
1 0
𝐼𝑛 + 𝐼𝑛+1 = ∫ 𝑥2𝑛+1𝑑𝑥
1 0
= [ 1
2𝑛 + 2× 𝑥2𝑛+2]
0 1
= 1
2𝑛 + 2× 12𝑛+2− 1
2𝑛 + 2× 02𝑛+2
𝑰𝒏+ 𝑰𝒏+𝟏 = 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟐
𝟑 − En déduire 𝐼1, 𝐼2 et 𝐼3.
• pour 𝑛 = 0 ∶ 𝐼0+ 𝐼1 = 1
2 × 0 + 2 → 𝑰𝟏=𝟏 𝟐−𝟏
𝟐𝒍𝒏 𝟐
• pour 𝑛 = 1 ∶ 𝐼1+ 𝐼2 = 1
2 × 1 + 2 → 𝑰𝟐=𝟏 𝟒−𝟏
𝟐+𝟏
𝟐𝒍𝒏 𝟐 = −𝟏 𝟒+𝟏
𝟐𝒍𝒏 𝟐
• pour 𝑛 = 2 ∶ 𝐼2+ 𝐼3 = 1
2 × 2 + 2 → 𝑰𝟑= 𝟏 𝟔+𝟏
𝟒−𝟏
𝟐𝒍𝒏 𝟐 = 𝟓 𝟏𝟐−𝟏
𝟐𝒍𝒏 𝟐
Exercice :
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥². On ne demande pas de calculer les intégrales.
𝟏 − Montrer que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
0
−1
𝟐 − Montrer que 2 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
≤ 2𝑒
1) On a 𝑒𝑥2 > 0 donc ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0−10
2) −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 donc 0 ≤ 𝑥2≤ 1 comme la fonction exp est strictement croissante sur ℝ on a 𝑒0≤ 𝑒𝑥2≤ 𝑒1 soit 1 ≤ 𝑒𝑥2 ≤ 𝑒. On a donc
Exercice :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 cm. Représenter graphiquement 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥² − 2𝑥 + 3 puis calculer l’aire de la portion fermée du plan située entre la courbe et l’axe des abscisses et les droites d’équations 𝑥 = −4 𝑒𝑡 𝑥 = 4.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
−4
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−3
−4
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−3
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4 1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
−4
= − [−1
3𝑥3− 𝑥2+ 3𝑥]
−4
−3
+ [−1
3𝑥3 − 𝑥2+ 3𝑥]
−3 1
− [−1
3𝑥3− 𝑥2+ 3𝑥]
1 4
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
−4
= − (−9 − (64
3 − 28)) −1
3+ 2 − (−9) − (−64
3 − 4 − (−1
3+ 2))
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
−4
= −19 +64
3 + 11 −1 3+63
3 + 6
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
−4
= −2 +126 3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
−4
= −2 + 42
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟒
−𝟒
= 𝟒𝟎
L’aire demandée est donc de 40 cm².
C f
𝒙 = −𝟒 𝒙 = 𝟒
Exercice :
Déterminer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C représentant la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − 3, la droite D d’équation 𝑦 = 2𝑥 − 3 et les droites verticales d’équations 𝑥 = 1 et 𝑥 = 2. Faire une figure.
sur [1 ; 2] ∶ 𝑓(𝑥) < 2𝑥 − 3 → 2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥) > 0
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
= ∫ (2𝑥 − 3 − 𝑥2+ 𝑥 + 3)𝑑𝑥
2 1
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
= ∫ (−𝑥2+ 3𝑥)𝑑𝑥
2 1
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
= [−1 3𝑥3+3
2𝑥2]
1 2
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
= −8
3+ 6 +1 3−3
2
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
= 6 −7 3−3
2
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
=36 − 14 − 9 6
∫ (2𝑥 − 3 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
2 1
=𝟏𝟑 𝟔
C f
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟐
Exercice :
Une société d’achat en ligne veut analyser le déroulement d’une vente promotionnelle « flash » qu’elle a organisé sur Internet.
Cette vente, d’une durée annoncée de trois minutes, a provoqué sur son site un flux financier que l’on peut supposer continu et dont la vitesse instantanée a été variable en fonction du temps.
On a pu modéliser cette vitesse pendant les trois minutes de l’ouverture du site par la
fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑡) = 20𝑡 𝑒−𝑡22 où 𝑡 est le temps, exprimé en minutes
(𝑡 ∈ [ 0 ; 3 ]) et 𝑓(𝑡) la vitesse instantanée de ce flux, exprimée en milliers d’euros par minute.
1- Déterminer une primitive 𝐹 de la fonction 𝑓.
𝒇(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝒆−𝒕
𝟐
𝟐 → 𝒇(𝒕) = −𝟐𝟎 × (−𝒕𝒆−𝒕
𝟐 𝟐)
J’utilise la primitive suivante : 𝑢′𝑒𝑢 → 𝑒𝑢
→ 𝑭(𝒕) = −𝟐𝟎 𝒆−𝒕
𝟐 𝟐
2- En déduire l’aire du domaine du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe 𝐶𝑓 et les droites d’équations 𝑡 = 0 et 𝑡 = 3, exprimée en unités d’aire.
𝑨 = ∫ 𝟐𝟎𝒕𝒆−𝒕
𝟐 𝟐 𝟑
𝟎
𝒅𝒕 𝑨 = 𝑭(𝟑) − 𝑭(𝟎)
𝑨 = −𝟐𝟎𝒆−𝟗𝟐+ 𝟐𝟎𝒆𝟎
𝑨 = 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝒆−𝟗𝟐
3- Quelle est la valeur moyenne de 𝑓 sur [ 0 ; 3 ] ?
𝒎 = 𝟏
𝟑 − 𝟎∫ 𝟐𝟎𝒕𝒆−𝒕
𝟐 𝟐 𝟑
𝟎
𝒅𝒕 =𝟏
𝟑(𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝒆−𝟗𝟐)
4- Quelle a été la somme totale transférée à la fin des trois minutes (à un euro près) ?
𝒎 ≈ 𝟔, 𝟓𝟗𝟑 soit 6 593 euros environ.
