Pour cela on étudie les variations de la fonction

Une majoration

On montre que pour tout p compris entre 0 et 1 la quantité ^{1,96 p}  ^{1  p} 

est majorée par 1.

Pour cela on étudie les variations de la fonction

   ¹ 

g x  x  x sur

l’intervalle   ^0;1 . Deux inégalités

On montre que pour tout p entre 0 et 1 et n entier on a  ¹  1 1,96 p p

p p

n n

    (1)

On montre que pour tout p entre 0 et 1 et n entier on a  ¹  1 1,96 p p

p p

n n

    (2)

Une inclusion

On note 

 



1,96 ; 1,96

n

p p p p

I p p

n n

   

 

    

 

 

et

n n

 

   

.

On rappelle que

est l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On appellera le nouvel intervalle

défini ci-dessus « intervalle de fluctuation asymptotique simplifié ».

Déduire des inégalités (1) et (2) l’inclusion de l’intervalle

dans l’intervalle

. Une conclusion

On peut « agrandir » l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% en majorant la quantité ^{1,96 p}  ^{1  p}  par 1 pour

. Ainsi si X

est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ^{B n p}  ^,  ^{et si} F

 X

n alors : pour tout p tel que

, il existe un entier n

tel que si n  n

on puisse affirmer :

1 1

0, 95

p p Fn p

n n

     

 

 

Remarquons l’équivalence suivante :

1 1 1 1

n n n

p F p F p F

n n n n

        

Utilisons la conclusion précédente pour affirmer que :

Si X

est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ^{B n p}  ^,  ^{et si} F

 X

n alors pour tout p tel que

, il existe un entier n

tel que si n  n

n n

     

 

 

.

Proposons la définition d’un intervalle de confiance à 95% :

Soit

la fréquence observée sur un échantillon de taille n . L’intervalle

n n

   

 

 

est

un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance de 95%.

NB : les conditions communément admises sont les suivantes :

,

et





.

Surpoids

Dans une certaine population, on a observé un échantillon de taille n=500 d’adolescents de 15 ans dans lequel 210 présentent un surpoids. Donner un intervalle de confiance de la proportion p d’adolescents de cette population présentant un surpoids au niveau de confiance 95%.

 

500

210 0, 42 500

1 1

; 0, 375; 0, 465

500 500

obs

C obs obs

n f

I f f



 

 

       

La proportion p d’adolescents de cette population présentant un surpoids sera comprise entre 37,5% et 46,5% (au niveau de confiance de 95%).

Poissons malades

On a observé 180 poissons malades sur 800 poissons pêchés dans une rivière. En considérant qu’il s’agit d’un échantillon aléatoire prélevé avec remise (il y a de nombreux poissons dans la rivière), donner un intervalle de confiance de la proportion de poissons malades dans la rivière au niveau de confiance de 95%.

 

800

180 0, 225 800

1 1

; 0,19; 0, 26

800 800

obs

C obs obs

n f

I f f



 

 

       

La proportion p de poissons malades dans la rivière sera comprise entre 19% et 26% (au niveau de confiance de 95%).

Pièces sans défaut

On considère une grande quantité de pièces industrielles devant être livrées à une chaîne d’hypermarchés. On prélève au hasard un échantillon de 100 pièces dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 96 pièces sont sans défaut. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut, avec un niveau de confiance de 95%.

 

100

96 0,96 100

1 100 0, 04 4 5

obs

n f

n f



 

     

Nous ne sommes pas en mesure de fournir un intervalle de confiance !!!

Virus

On veut estimer la proportion p de personnes immunisées contre un certain virus parmi la population d’une ville. On prélève un échantillon aléatoire de 500 personnes parmi cette population. La population est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage au hasard avec remise.

Après analyses, on dénombre 241 personnes immunisées contre ce virus, parmi les 500 de l’échantillon. Donner un intervalle de confiance de la proportion de personnes immunisées contre ce virus parmi la population de la ville, avec un niveau de confiance de 95%. Quelle est la taille minimale de l’échantillon qui aurait permis d’obtenir un intervalle de confiance de rayon inférieur ou égal à 0,01 ?

 

500

241 0, 482 500

1 1

; 0, 437; 0, 527

500 500

obs

C obs obs

n f

I f f



 

 

       

Le rayon d’un intervalle de confiance est 1 n . Je vais résoudre l’inéquation :

1 0, 01

1 0, 01 100 10000 n

n n n



 

 

 

La taille minimale de l’échantillon qui aurait permis d’obtenir un intervalle de confiance de rayon inférieur ou égal à 0,01 est de 10000 personnes.

Une option à prendre

Une agence de voyage propose, en option supplémentaire dans un de ses circuits, la visite d’une exposition. En consultant au hasard et avec remise 60 fiches de clients parmi les 2054 clients inscrits sur la période considérée, le directeur de l’agence observe que l’option est mentionnée seulement 9 fois. Donner un intervalle de confiance à 95% de la proportion inconnue p de personnes ayant fait le choix de cette option parmi les 2054 clients.

 

60

9 0,15 60

9 5

1 1

obs

n f nf



 

 

 

Le directeur considère que l’information fournie par l’intervalle de confiance est trop imprécise (longueur de l’intervalle trop grande). Il procède à un nouveau prélèvement de 60 fiches parmi les 2054. Sur l’échantillon global de taille 120 prélevé, l’option apparaît 18 fois. Quel intervalle de confiance de 95% l’échantillon complété permet-il de fournir ?

 

120

18 0,15 120

9 5

1 1

; 0, 059; 0, 241

120 120

obs

C obs obs

n f nf

I f f



 

 

 

       

La proportion inconnue p de personnes ayant fait le choix de cette option est comprise entre 6%

et 24% (au niveau de confiance de 95%).