Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions
Séance 12 : Exercices
Intervalles de confiance (Partie 2)
Exercice 1 : QCM
Q1. Un intervalle de probabilités de recouvrement
A. Contient toujours la valeur de l’estimateur ponctuel.
B. Est un estimateur d’un intervalle dont les bornes prennent autant de valeurs qu’il y a d’échantillons possibles.
C. A une longueur qui croît avec la taille de l’échantillon.
D. Aucune de ces réponses n’est correcte.
Q2. L’étendue d’un intervalle de confiance
A. Augmente lorsque le niveau de confiance diminue.
B. Diminue lorsque le niveau de confiance diminue.
C. Est égale à la marge d’erreur.
D. Est constante pour un niveau de confiance donné.
Q3. A estimateur du paramètre d’intérêt donné, un intervalle de confiance
A. Est toujours plus petit lorsque l’on connaît la variance de la population que lorsque l’on ne la connaît pas.
B. A toujours une étendue d’autant plus petite que la taille de l’échantillon est grande, à valeur du paramètre de variance donnée.
C. A une étendue similaire quelle que soit la loi des observations, lorsque la taille de l’échantillon est grande.
D. Aucune de ces réponses n’est correcte.
Q4. Un intervalle de confiance
A. Contient toujours la valeur du paramètre d’intérêt.
B. Contient une masse de probabilité de la distribution d’échantillonnage égale au niveau de confiance.
C. Est tel que la vraie valeur se trouve avec probabilité égale au niveau de confiance entre les deux bornes estimées.
D. Est tel qu’en appliquant son mode de construction sur un grand nombre d’échantillons, il contienne la vraie valeur du paramètre avec une fréquence égale au niveau de confiance.
Q5. Lorsque la population est normalement distribuée
A. Il est possible de construire un intervalle de confiance de la variance qui s’appuie sur l’estimateur de la variance empirique.
B. La variance empirique suit une loi du khi-deux dont le nombre de degrés de liberté est égal à la taille de l’échantillon diminué de 1.
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C. L’intervalle de confiance de la variance est symétrique par rapport à l’estimateur ponc- tuel de la variance (la variance empirique).
D. L’intervalle de confiance de la variance a des bornes proportionnelles à l’estimateur de la variance empirique.
Q6. Pour construire un intervalle de confiance, on utilise les quantiles de la loi de Student A. Lorsque la population est normalement distribuée et que l’on connaît la variance de la
population.
B. Lorsque l’échantillon est grand pour faire usage de l’approximation du Théorème Cen- tral Limite.
C. Lorsque la population est petite quelle que soit la loi parce que l’on ne peut pas faire usage du Théorème Central Limite.
D. Lorsque la population est normalement distribuée et que l’on ne connaît pas la variance de la population.
Exercice 2 : Intervalle de confiance d’une moyenne lorsque la variance est connue.
Le fichier Excel "exercice_2_seance_12.xlsx" regroupe 50 relevés de la vitesse de voitures sur une route nationale à deux voies de jour. L’administration (Observatoire National In- terministériel de Sécurité Routière) effectue chaque année des relevés en très grand nombre (plusieurs centaines de milliers) dans différentes conditions (jour, nuit, ville, campagne,...).
De ces mesures, on tire que l’écart-type de la variable aléatoire dans ces conditions est égal à 9km/h. La population de référence est le nombre de voitures susceptibles de passer devant le radar à l’endroit retenu. Par an, la fréquence de cette voie est de plusieurs centaines de milliers.
1. En supposant que la variable "vitesse mesurée" est distribuée normalement, donner un intervalle de confiance à 95% et 99% de la vitesse moyenne des véhicules à cet endroit.
Donner la marge d’échantillonnage.
2. Sous l’hypothèse de normalité, construire l’intervalle de confiance à 95% de la moyenne de la vitesse à cet endroit lorsque l’on ne connaît pas l’écart-type de la variable en population mais qu’on l’estime sur l’échantillon disponible. Donner la marge d’échantillonnage.
3. Sans l’hypothèse de normalité de la variable "vitesse mesurée", en s’appuyant sur la taille suffisamment grande de l’échantillon, quelle modification faut-il apporter au calcul précédent ?
4. Construire un intervalle de confiance à 95% de la variance sous l’hypothèse de normalité de la variable " vitesse mesurée".
Exercice 3 : Un industriel souhaite connaître dans la population française un intervalle de confiance à 98% de la fréquence d’achat de son produit " phare " avec une marge d’erreur de 0,01.
1. Montrer que pour toute probabilité p, la quantité p(1-p) est nécessairement positive et plus petite que 0,25.
2. Quelle doit être la taille de son échantillon ?
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