Douine – Terminale S – Travail à distance 48 - CORRECTION
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Intervalle de fluctuation ?ou intervalle de confiance ? Règle générale
On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ou si l’on fait une hypothèse sur sa valeur.
On utilise un intervalle de confiance lorsque l’on veut estimer une proportion inconnue dans une population.
Test de conformité d’une proportion
On veut déterminer si la proportion observée dans un échantillon est conforme à une valeur de référence connue dans la population. Sous l’hypothèse que l’échantillon est issu d’un tirage aléatoire correspondant à un schéma de Bernoulli (tirage avec remise ou s’y apparentant), la variable fréquence F
nappartient à un intervalle de fluctuation avec une probabilité déterminée.
En fonction de l’appartenance ou non de la fréquence observée à cet intervalle, on peut prendre une décision concernant la conformité de l’échantillon. Si les conditions d’utilisation sont réunies, on détermine l’intervalle de fluctuation asymptotique, sinon on a recours à un intervalle de fluctuation calculé avec la loi binomiale.
Estimation d’une proportion inconnue p grâce à un échantillon aléatoire
On se place dans le cas où l’échantillon comporte au moins 30 éléments afin de pouvoir utiliser l’intervalle de confiance au programme de la classe de terminale (*). Si la fréquence f observée est telle que nf 5 et n 1 f 5 , on considère qu’on peut conclure qu’un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance de 95% est f 1 n f ; 1 n
Exercice 1
On admet que la proportion de femmes dans la population française est égale à 51,4%. Si on considère 577 personnes françaises tirées aléatoirement avec remise, à quel intervalle appartiendra la proportion de femmes parmi ces 577 personnes avec une probabilité de 95% ?
577 0, 514
296, 578 5
1 280, 422
0, 473; 0, 555
F
n p np
n p
I
A l’Assemblée Nationale on dénombre actuellement* 155 femmes sur les 577 députés élus qui siègent dans l’hémicycle. Peut-on considérer (au seuil de 5% d’erreur) qu’il y a une sous- représentation des femmes au sein de l’Assemblée Nationale ?
155 0, 269
577
Ff I . Oui, on peut considérer (au seuil de 5% d’erreur) qu’il y a une sous-
représentation des femmes au sein de l’Assemblée Nationale. (*) l’énoncé serait à réactualiser…
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Exercice 2
Lors d’un scrutin électoral, plusieurs enquêtes sont menées par différents instituts de sondages afin de prédire le futur gagnant. On suppose que chaque enquête est effectuée auprès de 1000 personnes choisies au hasard et avec remise. A l’issue de ces enquêtes, les instituts fournissent la proportion des personnes votants pour le candidat A. Le tableau suivant résume les résultats fournis par les 6 instituts de sondages.
Institut 1 Institut 2 Institut 3 Institut 4 Institut 5 Institut 6
46,9 48,0 50,2 49,1 47,2 50,6
Recopier et compléter le tableau en ajoutant un intervalle de confiance à 95% pour chaque estimation (arrondir au millième). On désire savoir si le candidat A obtiendra la majorité des votes (c'est-à-dire plus de 50%). Quel institut peut-il affirmer connaître la réponse à cette question avec un niveau de confiance de 95% ?
1
2 3
4 5
6
