1 Intervalle de confiance.

Corrig´e Statistiques inf´erentielle par par Pierre Veuillez

1 Intervalle de confiance.

Exercice

D´eterminer une valeur approch´ee de la loi de la moyenne empirique : E X_n

=E(X), V X_n

= ¹_nV (X) donc X_n ,→

∼

N E(X),_n¹V (X)

2 Exercices

2.1 Variance

Soit X ayant une esp´erancem et une variancev, sa variance empirique estWn= ¹_nP

X_i²−Xn 2

avec X_n la moyenne empirique de X et ¹_nP

X_i² la moyenne empirique de X².

1. Soit Y ayant une esp´erance et une variance. Calculer E(Y²) en fonctionE(Y) et V (Y) 2. Calculer E X_n

et V X_n

et en d´eduire E X_n²

3. Montrer enfin que E(W_n) = ⁿ⁻¹_n V (X) et en d´eduire un estimateur sans biais de la variance.

Solution

1. V (Y) =E(Y²)−E(X)² donc E(Y²) =V (Y) +E(Y)² 2. E X_n

=m et V X_n

= ¹_nv donc E X_n²

= _n¹v+ m² 3. E(W_n) = _n¹ P

E(X_i²) = ¹_nn(v +m²)− _n¹v+ m²

= 1− ¹_n

v = ⁿ⁻¹_n v D’o`u E ⁿ⁻¹_n W_n

= v et ⁿ⁻¹_n W_n variance empirique sans biais est un estimateur sans biais de la variance.

2.2 Question confidentielle.

Certains sujets abord´es dans les enquˆetes d’opinion sont parfois assez intimes, et on court le risque que les personnes interrog´ees se refusent `a r´epondre franchement `a l’enquˆeteur, faussant ainsi le r´esultat.

On peut alors avoir recours `a une astuce consistant `a inverser al´eatoirement les r´eponses .

Consid´erons une question confidentielle pour laquelle on veut estimer la probabilit´e p de r´eponses positives.

L’enquˆeteur demande `a chaque personne interrog´ee de lancer un d´e.

• Si le d´e tombe sur , la personne doit donner sa r´eponse sans mentir,

• sinon elle doit donner l’opinion contraire `a la sienne.

Si l’enquˆeteur ignore le r´esultat du d´e, il ne pourra pas savoir si la r´eponse est franche ou non, et on peut esp´erer que la personne sond´ee acceptera de jouer le jeu.

G´en´eralisons l´eg`erement la situation en tirant pour chaque personne une variable de Bernoulli de param`etre α.

• Si le r´esultat de cette variable est 1, la r´eponse est franche,

• sinon, elle est invers´ee.

Soit n le nombre de personnes interrog´ees.

L’enquˆeteur ne recueille que la fr´equence empirique F_n des “oui”.

1. Montrer que la probabilit´e de “oui” `a l’issue de la proc´edure est q=α p+ (1−α) (1−p) 2. Montrer que F_n, la fr´equence observ´ee par l’enquˆeteur, est un estimateur sans biais de q et de

risque quadratique tendant vers 0 quand n tend vers +∞

3. Pour α6= 1/2 exprimer p en en fonction de q.

4. En d´eduire que T_n = ^Fn_2α−1^−1+α est un estimateur sans biais dep dont le risque quadratique tend vers 0 quand n tend vers +∞.

5. Pour n fix´e, quelle valeur attribuer `a α pour que le risque quadratique soit minimum ? Est-ce acceptable ?

Pour quelle valeur deα ce risque est-il maximum ? Quel sera le risque quadratique avec le d´e (α= 1/6)

2.3 Loi uniforme

Soit X de loi U[0, a] et (X₁, . . . X_n) unen-´echantillon de variables. Etimation de a: X a une esp´erance de a/2. Soit X_n la moyenne empirique.

1. Soit T_n = 2X_n. Montrer que T_n est sans biais et d´eterminer son risque quadratique 2. Soit T_n⁰ = max (X₁, . . . , X_n)

D´eterminer la fonction de r´epartition deX puis celle de T_n⁰ En d´eduire sa densit´e puis son biais et son risque quadratique.

3. Soit T_n⁰⁰= ⁿ⁺¹_n T_n⁰ d´eterminer son biais et son risque quadratique.

4. Quel est le meilleur estimateur de a pour de grandes valeurs de n ? solution:

1. X_n = _n¹ Pn

i=1X_i doncE X_n

= _n¹ Pn

i=1E(X_i) = ^a₂ d’o`uE(T_n) = 2^a₂ =a et T_n est sans biais.

V X_n

= _n¹2

Pn

i=1V (X_i) car les (X_i) sont ind´ependantes.

E(X_i²) =Ra 0

1

at²dt = _a¹[t³/3]^a₀ = ^a₃² donc V (X_i) = ^a₃² −^a₄² = ^a₁₂² d’o`uV X_n

= _12n^{n a2}2. La variance de T_n= 2X_n est alors V (T_n) = 4V X_n

= _3n^a2 et donc son risque quadratique est

a²

3n + 0² = _3n^a2

2. La fonction de r´epartitionF de Xest : F(x) = Rx

−∞f(t) dt=







0 si x <0 Rx

0 1

adt= ^x_a si x∈[0, a]

1 six > a (T_n⁰ ≤t) = (max (X₁, . . . , X_n)≤t) = Tn

i=1(X_i ≤t) et en notant F la fonction de r´epartition deX, et Gcelle de T_n⁰ on a alors

G(t) =F (t)ⁿ.

F est continue sur Ret C¹ sauf en 0 et a donc G´egalement etT_n⁰ est `a densit´e de densit´e : g(t) =G⁰(t) =n f(t)Fⁿ⁻¹(t) =

0 si x /∈[0, a]

n a

x a

n−1

si x∈[0, a]

L’esp´erance (qui existe) de T_n⁰ est alorsRa

0 t g(t)dt=Ra 0

n

aⁿtⁿdt = _n

n+1 1

aⁿtⁿ⁺¹a

0 = _n+1ⁿ a DoncT_n⁰ a pour biais _n+1ⁿ −1

a=−_n^a (biais´e mais son biais tend vers 0 quand n→+∞ ) L’esp´erance (qui existe) de T_n⁰² est Ra

0 t²g(t)dt=Ra 0

n

aⁿtⁿ⁺¹dt = _n

n+2 1

aⁿtⁿ⁺²a

0 = _n+2ⁿ a² Donc la variance de T_n⁰ est

V (T_n⁰) = E T_n⁰²

−E(T_n⁰)² = n

n+ 2a²− n

n+ 1 2

a² = n

(n+ 1)²(n+ 2)a² et son risque quadratique estr⁰ =V (T_n⁰) +b² = ⁿ

(n+1)²(n+2)a²+_n¹2a² =

n

(n+1)²(n+2) + _n¹2

a² ∼

2 n²a²

3. Alors T_n⁰⁰ = ⁿ⁺¹_n T_n⁰ a pour esp´erance ⁿ⁺¹_n E(T_n⁰) =a donc T_n⁰⁰ est sans biais.

Sa variance estV (T_n⁰⁰) = ⁿ⁺¹_n 2

V (T_n⁰) = _n(n+2)¹ a² et a pour risque quadratiquer⁰⁰= _n(n+2)¹ a² ∼

1

n²a² ce qui est (pourn grand) deux fois mieux queT_n⁰.

4. Donc pour de grandes valeurs de n, T_n⁰⁰ est le meilleur estimateur dea.

2.4 Intervalle de confiance pour le param` etre d’une variable de Bernouilli.

Lors d’un sondage sur 100 personnes interrog´ee, 60 pensent voter pour A

On mod´elise le choix par un ´echantillon (X₁, . . . , X₁₀₀) de variable ind´ependantes de mˆeme loi de Bernouilli de param`etre p.

On cherche `a d´eterminer un intervalle de confiance pourpau niveau de confiance 99% (1% de risque) 1. D´eterminer l’esp´erance et la variance de la fr´equence empirique F = ₁₀₀¹ P100

i=1X_i ? 2. On note F^∗ la fr´equence empirique centr´ee r´eduite.

Par quelle loi peut on approcher celle de F^∗? On suppose d´esormais que F^∗ suit N(0,1) 3. D´eterminerttel que P (−t ≤F^∗ ≤t)≥0,99 et en d´eduire que P

F −t

√

p(1−p)

10 ≤p≤F +t

√

p(1−p) 10

≥ 0,99

4. Montrer que pour tout p ∈[0,1], p(1−p)≤ ¹₄ et en d´eduire que [F −t/20 ; F +t/20] est un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 99%

Solution

1. On a E(F₁₀₀) =E ₁₀₀¹ P100 i=1X_i

= ₁₀₀¹ P100

i=0E(X_i) = ₁₀₀¹ 100p=p DoncF_n est un estimateur sans biais de p

2. Somme de variables ind´ependantes de mˆeme loiB(1, p) :V (X_i) = p(1−p)6= 0 etE(X_i) =p Donc avec F = ₁₀₀¹ P100

i=1X_i, F^∗ peut ˆetre approch´ee par une loi Normale centr´ee r´eduite.

V (F) = ₁₀₀¹2

P100

i=1V (X_i) car les (X_i)_i sont ind´ependantes. Donc V (F) = ₁₀₀¹ p(1−p) et F^∗ = q^F−p

p(1−p) 100

= √ ¹⁰

p(1−p)(F −p) la fr´equence empirique centr´ee r´eduite suit approximativement une loiN (0,1)

3. Comme −t ≤t : P (−t ≤F^∗ ≤t) = Φ (t)−Φ (−t) = Φ (t)−(1−Φ (t)) = 2Φ (t)−1

On r´esout : 2Φ (t)−1 = 0,99⇐⇒ Φ (t)≥ 0,995 et on lit sur la table de la lo Normale pour t= 2,58

N.B. premi`ere transformation `a connaˆıtre :

(−t ≤F^∗ ≤t) = −t≤ 10

pp(1−p)(F −p)≤t

!

= −t

pp(1−p)

10 ≤F −p≤t

pp(1−p) 10

!

= F −t

pp(1−p)

10 ≤p≤F +t

pp(1−p) 10

!

Donc P

F_n−t

√p(1−p)

10 ≤p≤F_n+t

√p(1−p) 10

≥0,99 4. On ´etudie les variations de f(p) = p(1−p).

f est d´erivable sur R etf⁰(p) = 1−p−p= 1−2p

p 0 1/2 1

f⁰(p) = 1−2p + 0 − affine f(p) % 1/4 &

et p(1−p)≤ ¹₄ On a alors p

p(1−p)≤ ¹₂ donc

N.B. seconde transformation `a connaˆıtre :

F_n−t

√

p(1−p)

10 ≤p≤F_n+t

√

p(1−p) 10

⊂ F_n−t₂₀¹ ≤p≤F_n+t₂₀¹

et P (F_n−t/20≤p≤F_n+t/20)≥ P

Fn−t

√p(1−p)

20 ≤p≤Fn+t

√p(1−p) 20

≥0,99

Donc [F_n−t/20 ; F_n+t/20] est un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 99%

soit avec l’´echantillon de donn´ees : ˆp= 0,6

t/20'0,13,l’intervalle de confiance au niveau 99% est [0,47 ; 0,73] ... ce qui ne renseigne pas beaucoup sur les chances de remporter l’´election..

Avec un ´echantillon de taille 10000, on trouvera l’intervalle [F_n−t/200, F_n+t/200] soit une largeur d’intervalle proche de 5% pour un niveau de confiance de 99%.

Avec un niveau de confiance de 95%, on a t= 1,96 et pourn = 1000 on a t

√p(1−p)

√1000 ≤0,0302, c’est la classique des sondages : pour un ´echantillon de 1000 personne, le r´esultat est donn´e avec un intervalle de confiance de 3% (ce que ne disent pas les sondeurs, c’est que cela n’est sˆur qu’`a 95% : il y a 5% de chance que la valeur r´eelle soit hors de cet intervalle de

2.5 Intervalle de confiance par Bienaym´ e-Tchebichev

Soit a ∈ 0; 2√

3

, X ,→ U_[0,a] et (X₁. . . X_n) un n-echantillon de variables de mˆeme loi que X et ind´ependantes.

On cherche un intervalle de confiance de ^a₂ au niveau de confiance 99% (niveau de risque 1%).

On note X_n la moyenne empirique

1. Rappeler la moyennemdeXet montrer queV (X) = ^a₁₂². En d´eduire la moyenne et l’esp´erance deX_n.

2. En d´eduire que P

X_n−^a₂

>0,1

≤ ¹⁰⁰_n 3. D´eterminer enfin n pour que

X_n−0,1 ;X_n+ 0,1

soit un intervalle de confiance de ^a₂ au niveau de confiance 99%

4. Ecrire un programme PASCAL qui

• choisit un nombrea au hasard dans 0; 2√

3

• effectue 10000 tirages dans [0, a]

• calcule et affiche la moyenne des r´esultats obtenus.

Le programme a affich´e 0,534.

• Pensez vous que ^a₂ = 0,534 ?

• Pensez vous que ^a₂ >0,7 ?

• Pensez vous que ^a₂ ∈[0,43 ; 0,64] ?

5. Par quelle loi peut-on approcher celle de X₁₀₀₀ ? 6. D´eterminer tpour que P

−t ≤

√ 12

a 100 X_n− ^a₂

< t

≥0,99 et en d´eduire un autre intervalle de confiance de ^a₂ au niveau α

Solution Soit a ∈

0; 2√ 3

, X ,→ U_[0,a] et (X₁. . . X_n) un n´echantillon de variables de mˆeme loi que X et ind´ependantes.

On cherche un intervalle de confiance de ^a₂ au niveau de confiance 99% (niveau de risque 1%).

On note X_n la moyenne empirique 1. On a E(X) = ^a₂

Et comme la densit´e de X est nulle hors de [0, a] et vaut ¹_a sur [0, a] on a E(X²) =Ra 0

t² adt = ht³

3a

ia 0

= ^a₃² et doncX a une variance qui est V (X) = ^a₃² − ^a₂2

= ^a₁₂² DoncE X_n

=E ¹_nPn i=1X_i

= ¹_nPn

i=1E(X_i) = ⁿ_nE(X) = ^a₂

EtV X_n

=E ¹_nPn i=1X_i

= _n¹2

Pn

i=1V (X_i) car les X_i sont ind´ependants· · ·= _n¹2nV (X) =

a² 12n

Rappeler la moyennemdeXet montrer queV (X) = ^a₁₂². En d´eduire la moyenne et l’esp´erance deX_n.

2. D’apr`es l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebichev on a alors P

X_n− ^a₂

>0,1

≤ ^V(^Xn)

0,1² = 100_12n^a2 et comme 0≤ a≤2√

3 alors a² ≤12 et donc P

Xn− ^a₂

>0,1

≤ ¹⁰⁰_n et P

Xn− ^a₂

≤0,1

≥ 1−¹⁰⁰_n

3. Comme l’´ev´enement

X_n− ^a₂

≤0,1

s’´ecrit −0,1≤X_n− ^a₂ ≤0,1

ou encore : Xn−0,1≤ ^a₂ ≤Xn+ 0,1

Donc pourn = 10000 on a P X_n−0,1≤ ^a₂ ≤X_n+ 0,1

≥1−0,01 et

X_n−0,1 ; X_n+ 0,1 est un intervalle de confiance de ^a₂ au niveau de confiance 99%

4. Ecrire un programme PASCAL qui Program estim;

var a,x,s:real;k:integer;

begin

randomize;a:=random(2*(3));s:=0;{initialisation}

for k:=1 to 10000 do begin

x:=random(a);

s:=s+x;

end;

writeln(’la moyenne est :’,s/10000);

end.

Le programme a affich´e 0,534.

• Chaque valeur a une probabilit´e nulle d’avoir ´et´e choisie ! donc ^a₂ 6= 0,534 ?

• La probabilit´e que ^a₂ soit dans l’intervalle [0,534−0,1 ; 0,534 + 0,1] est sup´erieure `a 99%.

Donc la probabilit´e qu’il soit>0,7 est de moins de 1%.Je ne pense donc pas quea/2>0,7

• La probabilit´e de ^a₂ ∈ [0,43 ; 0,64] est sup´erieure `a 99%. Je pense donc que oui. (et j’ai moins de 1% de chances de me tromper ...)

5. La loi Pn

i=1X_i somme de variables ind´ependantes de mˆeme loi qui a pour esp´erance n^a₂, et pour variance n^a₁₂².

DOnc centre´ee r´eduite, elle peut ˆetre approch´ee par une loi N (0,1) et X_n^∗ = √^Xn−a/2

a²/12n par N(0,1)

6. Et pour n= 10000 : P

−t ≤

√12

a 100 X_n− ^a₂

< t

'Φ (t)−Φ (−t) = 2Φ (t)−1 On r´esout 2Φ (t)−1≥0,99⇐⇒Φ (t)≥0,995 ce qui est v´erifi´e pour t= 2,58≤2,6 On a

−t ≤

√ 12

a 100 X_n− ^a₂

< t

=

X_n−t ^a

100√

12 ≤ ^a₂ < X_n+t ^a

100√ 12

avec ^a

100√

12 ≤ ₁₀₀¹

donc

X_n−0,026 ; X_n+ 0,026

est un intervalle de confiance de ^a₂ au niveau de confiance 99%

(soit une pr´ecision quatre fois meilleure qu’avec la formule de Bienaym´e-Tchebichev)

2.6 Comptage par capture et recapture

On cherche `a ´evaluer le nombre N de poissons dans un ´etang.

Pour cela, on pr´el`eve dans l’´etang m poissons que l’on bague avant les remettre dans l’´etang.

On propose deux m´ethodes diff´erentes d’estimation de N.

M´ethode 1

Soit n ∈N^∗,n ≥m.

On pr´el`eve des poissons dans l’´etang, au hasard et avec remise.

On note X_n la variable al´eatoire ´egale au nombre de poissons qu’il a ´et´e n´ecessaire de pˆecher pour obtenirn poissons marqu´es.

Pour tout i∈ [2, n], on pose D_i = X_i −Xi−1. On pose D₁ = X₁ et on suppose que les D_i sont des variables ind´ependantes.

1. a) Pour tout i∈[2, n], quelle est la signification de D_i ?

b) D´eterminer, pouri∈[2, n], la loi de D_i, son esp´erance et sa variance.

En d´eduire l’esp´erance et la variance de X_n.

c) On poseA_n = ^m_nX_n. Montrer queA_nest un estimateur sans biais de N et d´eterminer son risque quadratique.

2. a) Pournassez grand, par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable al´eatoireX_n= ^X_nⁿ (on utilisera le th´eor`eme de la limite centr´ee)?

b) On a marqu´e 200 poissons puis effectu´e 450 pr´el`evements pour obtenir 50 poissons marqu´es.

On poseσ =σ(A_n). On a pu prouver par ailleurs queσ ≤100.

D´eterminer en fonction de σ, un intervalle de confiance pour N au seuil 0.9 (On donne Φ(1,64)'0,95).

M´ethode 2

On pr´el`eve successivement et avec remise n poissons. Soit Y_n le nombre de poissons marqu´es parmi eux.

1. Montrer que _nm¹ Yn est un estimateur sans biais de _N¹. 2. Pour quelle raison ´evidente ne peut-on pas prendre ^nm_Y

n comme estimateur de N ? On pose alors B_n = ^m(n+1)_Y

n+1

a) Calculer l’esp´erance de B_n.

b) Est-il un estimateur sans biais de N ? Solution

M´ethode 1

1. a) D_i est la diff´erence du nombre de p`eche n´ecessaire pour obteniri−1 etipoissons marqu´es.

C’est le nombre de p`eche pour obtenir un poisson marqu´e de plus.

b) DoncD_iest lenombre dep`eches pour obtenir un poisson marqu´e de plus dans unesuite de p`eche (on peut supposer que la p`eche se continue ind´efiniment)ind´ependantes (avec remise, en supposant que les poissons sont bˆetes et ne se souviennent pas qu’il ne faut pas mordre `a l’hame¸con) ayant toutes une probabilit´e ^m_N de donner un poisson marqu´e.

DoncD_i ,→ G ^m_N

et E(D_i) = ^N_m etV (D_i) = 1− ^m_N

m N

2 = N(N −m) m²

Comme D₁ +D₂ +· · ·+D_n = X_n on a alors E(X_n) = n^N_m et comme les (D_i)_i sont ind´ependants, V (X_n) =n^N(N−m)_m2

c) On pose An= ^m_nXn.

On a alorsE(A_n) = ^m_nE(X_n) = N donc A_n est un estimateur sans biais deN.

Sa variance estV (A_n) =V ^m_nX_n

= ^m_n2²V (X_n) = ^N(N−m)_n Donc son risque quadratique est : biais²+V (A_n) = ^N(N_n^−m)

2. a) Pour n assez grand,X_n ´etant une somme de variables ind´ependantes et de mˆeme loi,X_n^∗ peut ˆetre approch´ee par une loi normale centr´ee r´eduite.

b) A_n suit alors ´egalement une loi normale de param`etres E(A_n) = N et etV (A_n) =σ² et ^An_σ^−N suit une loi normale centr´ee r´eduite.

Donc P −t ≤ ^An_σ^−N ≤t

= Φ (t)−Φ (−t) = Φ (t)−[1−Φ (t)] = 2Φ (t)−1 Et

P

−t ≤ An−N σ ≤t

≥0,9 ⇐⇒ 2Φ (t)−1≥0,9

⇐⇒ Φ (t)≥0,95'Φ(1,64)

⇐⇒ t≥1,64 car Φ est croissante sur R

Commeσ≤100 alors

−t≤ A_n−N σ ≤t

= (A_n−tσ ≤N ≤A_n+tσ)⊂(A_n−t100≤N ≤A_n+t100) Et avec t= 1,64 : P (A_n−t100 ≤N ≤A_n+t100)≥P −t≤ ^An_σ^−N ≤t

≥0,9

Donc [A_n−164, A_n+ 164] est un intervalle de confiance deN au niveau de confiance 0,9 Avec ici : m= 200; n = 50 etX50= 450

DoncA₅₀ = ²⁰⁰₅₀X₅₀= 1800 (Estimation ponctuelle de N)

et on est sˆur `a 90% que le nombre de poissons dans l’´etang est compris dans l’intervalle [1636, 1964]

M´ethode 2

On pr´el`eve successivement et avec remise n poissons. Soit Y_n le nombre de poissons marqu´es parmi eux.

1. Le nombre Yn de poissons marqu´es suit une loi binomial de param`etres n,^m_N . Donc son esp´erance est E(Y_n) =n^m_N etE _nm¹ Y_n

= _N¹ Donc _nm¹ Y_n est un estimateur sans biais de _N¹.

On a V (Y_n) = n^m_N 1− ^m_N

= ^nm(N−m)_N2 donc V _nm¹ Y_n

= _nm¹ 2

V (Y_n) = ^(N−m)_{n m N}2

Donc le risque quadratique de _nm¹ Y_n comme estimateur de _N¹ est ^(N−m)_{n m N}2

2. Comme Y_n peut ˆetre nul avec une probabilit´e non nulle, ^nm_Y

n aurait une probabilit´e non nulle de ne pas ˆetre d´efini.

On pose alors B_n = ^m(n+1)_Y

n+1

a) On utilise le th´eor`eme de transfert : les valeurs de Yn sont [[0, n]]

E(B_n) =

n

X

k=0

m(n+ 1)

k+ 1 P (Y_n=k)

=

n

X

k=0

m(n+ 1) k+ 1

n k

p^kq^n−k

il faut d´evelopper le coefficient du binˆome pour simplifier l’expression.

en notantp= ^m_N et q= 1−^m_N

E(B_n) =

n

X

k=0

m(n+ 1) k+ 1

n!

k! (n−k)!p^kq^n−k

=

n

X

k=0

m (n+ 1)!

(k+ 1)! (n−k)!p^kq^n−k On y reconnaˆıt ⁿ⁺¹_k+1

et on r´eindexe h = k + 1pour faire r´eapparaitre la formule du binˆome... pour la puissance n+ 1

E(B_n) =

n

X

k=0

m

n+ 1 k+ 1

p^kq^n−k

=

n+1

X

k=1

m

n+ 1 h

p^h−1q^n+1−h

= m

p

n+1

X

k=0

n+ 1 h

p^hq^n+1−h−qⁿ⁺¹

!

= m

p (p+q)ⁿ⁺¹−qⁿ⁺¹

= m

p 1−qⁿ⁺¹

= N 1−qⁿ⁺¹

b) DoncB est biais´e, mais quandntend vers +∞(quand on augmente le nombre de repˆeche) le biais tend vers 0 : il est asymptotiquement sans biais.