Chapitre 10 : Intervalle de fluctuation

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Chapitre 10 : Intervalle de fluctuation

Objectifs :

*Connaitre et savoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95.

* Connaitre la règle de décision et savoir l’utiliser.

*Connaitre et savoir utiliser un intervalle de confiance au niveau 95%.

Exercices : Indice TSTMG 2012 Bordas activité1p202

Conditions sur les paramètres : Dans tout le chapitre, sauf mention contraire, la taille de l'échantillon n et la proportion p du caractère étudié dans la population vérifient :

I. Intervalle de fluctuation

Définition : On appelle intervalle de fluctuation assymptotique au seuil 0,95 de la variable aléatoire l'intervalle :

.

Remarque : La probabilité définie dans la propriété se rapproche de 0,95 sans être nécessairement égale d'où l'emploi du terme "asymptotique".

Propriété (Règle de décision) : Soit f la fréquence du caractère étudié d'un échantillon de taille n.

Soit l'hypothèse : "La proportion de ce caractère dans la population est p."

Soit I l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95.

- Si , alors on accepte l'hypothèse faite sur la proportion p au risque 5%.

- Si , alors on rejette l'hypothèse faite sur la proportion p au seuil 5%.

Exemple : Un fabricant d'alarme commande auprès de son fournisseur deux types de

composants électroniques : RS017 et P412. Il demande 900 composants de chaque sorte. Au moment de la livraison, le service de contrôle retire 50 composants et constate que 19 sont des modèles RS017. Peut-on affirmer que la commande est respectée par le fournisseur?

En théorie, on devrait avoir 900 composants de chaque sorte d’où p=0,5.

Le lot sur lequel on travail est de 50 donc n=50.

On a donc l’ intervalle de fluctuation assymptotique au seuil 0,95 de la variable aléatoire l'intervalle : I =

= =

Le fabricant reçoit 19 RS017 sur 50 d’où f=

Chapitre 10 : intervalle de fluctuation Page 2 II. Estimation

Définition : Soit f une fréquence observée du caractère étudié sur un échantillon de taille n.

On appelle intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95, l'intervalle

.

Remarque : p étant inconnu, il n'est pas possible de vérifier si les conditions énoncées sur n et p en introduction de chapitre sont vérifiées. Cependant, il faudra les vérifier sur la fréquence observée f : _n30, _n f 5 et ^{n }





Exemples :

1) Un institut de sondage interroge 1052 personnes entre les deux tours de l'élection présidentielle sur leur intention de vote. 614 déclarent avoir l'intention de voter pour François. En supposant que les votes seront conformes aux intentions, le candidat a-t-il raison de croire qu'il sera élu ?

f= n=1052

L’intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est I=

On peut considérer qu’il sera élu car il devrait obtenir entre 55 et 61% des voix.

2)Un constructeur automobile fait appel à un institut de sondage afin de mesurer le degré de satisfaction du service après-vente. L'institut souhaite estimer la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude d'au plus 5 centièmes.

Combien de personnes au minimum faut-il interroger ?

L’amplitude étant l’écart entre les bornes de l’intervalles, on a :

Il faudra donc interroger au minimum 1600 personnes.

Exercices : Indice TSTMG 2012 Bordas

1,3,5,6,7,8,10,14,15,17,18,21,23p207+25,27,29,32,35,37p209+43,47,48,50p211+sujet A,B,Cp218+sujet F et Gp220+TPp214

Exercices supplémentaires : Indice TSTMG 2012 Bordas

p204,205+2,4,9,11,12,13,16,19,20,22p207+24,26,28,30,31,33,34,36,38p209+39,40,41,42,44, 45,46,49,51,52,53,54,55p211+p212,213,216,217+sujet D et Ep219+64,65,66p220