Fiche 6 : Intervalle de confiance

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Enseignement

Scientifique Terminale

Thème 3 : une histoire du vivant

Fiche 6 : Intervalle de confiance

On s'intéresse à un caractère particulier au sein d'une population de grande taille.

Mais on ignore la proportion, notée p, des individus ayant ce caractère dans la population et rien ne permet de faire une hypothèse sur la valeur de p.

On cherche donc à estimer avec un certain niveau de confiance quelle valeur peut prendre p en s'appuyant sur la fréquence observée de ce caractère dans un échantillon de taille n sélectionné aléatoirement

POPULATION

p est la proportion des individus ayant un caractère donné au sein de la

population.

ECHANTILLON

/ est la fréquence observée du caractère

donné pour un échantillon de taille n

Le paramètre p est inconnu.

On est dans une situation de problème d'estimation et d1 intervalle de confiance.

Définitions :

La fréquence observée du caractère dans l'échantillon est :

nombre d'individus de l'échantillon possédant le caractère

c

n, la taille de l'échantillon

Dans une population, on note p la proportion théorique d'individus ayant un caractère donné.

On considère un échantillon de taille n dans cette population et on calcule la fréquence / du caractère dans cet échantillon.

• Si n > 25 et 0,2 < / < 0,8, alors p appartient à l'intervalle / = \f ~-=\f + -=\s environ 95 % des cas.

L Vn ' VnJ

/est appelé intervalle de confiance au seuil de 95 %.

• La marge d'erreur est -7=

yn

• L'amplitude de cet intervalle est -r=

Exercice 1 - QCM - Entourer la bonne réponse

L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % pour une proportion inconnue d'un

caractère présent dans une population à partir d'un échantillon de taille proche de 83 est [0,07 ; 0,29].

1) La fréquence observée du caractère est : a/ 7 % ( b/ 18 % c/ 29%

2) L'amplitude de cet intervalle de confiance est: a/ 11 % b/ 22 % c/ 36%

3) La marge d'erreur est égale à : a/ 11 % b/ 18 % c/ 22 %

Exercice 2 - QCM - Entourer la bonne réponse

On cherche à estimer la proportion de lapins touchés par la myxomatose dans un département.

150 lapins sont prélevés : 33 s'avèrent infectés et subiront un traitement, les autres seront vaccinés puis remis dans leur milieu.

1) La taille de l'échantillon étudié est: a/ 12 b/ 138 ( c/ 150 '

2) La fréquence de lapins infectés par la myxomatose dans cet échantillon est égale à : a/ 8 % b/ 8,7 % c/ 22 % 3) L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % est :

a/ [0,037; 0,123] (b/ [0,138 ; 0,302] c/ [0,213 ; 0,227]

Exercice 3

Parmi 900 poissons péchés dans le lac, on a observé 180 poissons porteurs de parasites.

Déterminer l'intervalle de confiance à 95 % associé à cette proportion. c -iCC 2^A-

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Exercice 4 : Impact de la taille de l'échantillon

On s'intéresse à la proportion d'un caractère dans une population. Pour ce faire, on prélève un échantillon : si un individu possède ce caractère, alors on note « 1 », sinon on note « 0 ». Suite à un prélèvement, on a obtenu le résultat suivant : 00101010001100111000101101001000100. «He^'t-^ -^ :

1} Préciser la taille de l'échantillon n et le nombre nE d'individus possédant le caractère dans cet échantillon. En déduire la fréquence observée / du caractère pour cet échantillon. •"** " ^t - jf =r o A*

2) Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % associé à cet échantillon/ f" c 3) Dans des conditions similaires, on a prélevé un autre échantillon dont voici le résultat :

110010000011101CÏ011000110100111101010000111C)00100001100100000011111000000

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111001011000000111000000100. * t c : l& -K^ W<*. - - c.

Répondre aux questions 1} et 2) pour cet échantillon. f - r * i-/^

i* * i ' 4) Comparer l'amplitude des deux intervalles de confiance.

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Exercice 5 : Groupe sanguin

En France, la proportion de personnes de groupe sanguin AB serait de 10 % avec une marge d'erreur d'environ 2,94 %.

1) Préciser l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% pour cette proportion. £0 c *ftV O H 2) Quelle était la taille de l'échantillon considéré pour déterminer un tel intervalle de confiance.

Exercice 6 : Gauchers dans le monde

A la fin des années 1970, une étude anglophone affirmait que les gauchers représenteraient environ entre 8 % et 15 % de la population mondiale.

Quelle était la taille de l'échantillon considéré ? x - leic* , VV*I Cfrwfû C-U* "•

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Exercice 7 : Capture-Marquage-Recapture

On désire évaluer le nombre N d'individus d'une espèce animale vivant sur une île.

Pour cela, on capture 800 individus, ces individus sont marqués, puis relâchés.

On recapture ultérieurement 1000 animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués.

1) Estimer la taille de cette population animale.

2) Déterminer l'intervalle de confiance à 95 % associé à la proportion d'individus marqués dans ia population.

3) Déterminer l'intervalle de confiance à 95 % pour la taille de cette population.

Exercice 8 : Simulation d'échantillons

Dans le nord des Alpes, 30% des renards sont infectés en moyenne par l'échinococcose alvéolaire. A l'aide d'un tableur, on a simulé le prélèvement de 20 échantillons dans la population des renards dans le nord des Alpes et on a représenté graphiquement les intervalles de confiances au niveau de confiance de 95 % associés.

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1} Que représente l'axe des abscisses ? l'axe des ordonnées ? les triangles de couleur rouge ? 2) Quel phénomène explique une telle différence entre les intervalles de confiances ?

3) Quel est le pourcentage d'intervalles de confiance ne contenant pas la proportion p de renards infectés par l'échinococcose alvéolaire sur cette simulation . Etait-ce prévisible ?

4) Observer tes intervalles de confiance qui contiennent ta proportion p.

Cette dernière est-elle au centre de chaque intervalle ? proche de ses extrémités ? Que peut-on en déduire ?

Exercice 9 : Vaccinons les chatons !

Le coryza du chat est une maladie virale associée à un syndrome respiratoire qui touche principalement les chatons. Pour estimer la prévalence (proportion de sa présence) dans un département, on a prélevé un échantillon de 145 chatons : 25 s'avèrent porteurs de cette maladie.

1) Calculer la fréquence observée de chatons porteurs du coryza dans cet échantillon.

2) Calculer la marge d'erreur et déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % pour l'estimation de la proportion de chatons touchés par cette maladie dans ce département.

3) L'amplitude de cet intervalle étant trop important, il est décidé de prélever un autre échantillon. Quelle devrait être sa taille pour que la marge d'erreur soit proche de 4 % ?

Exercice 10 : Estimer la taille d'une population

Une équipe scientifique souhaite estimer l'effectif d'une population de lions de mer de Steller Eumetopîas jubatus, une espèce classée

« quasi menacée » par l'organisation UICN.

Pour cela, ils ont accès à des données de capture/marquage/recapture dans une zone du nord de l'Océan Pacifique : 57 individus ont été capturés et marquée lors d'une première étude.

Un an plus tard, 48 individus ont été capturés dont 19 marqués.

A partir de ces données et après avoir présenté le principe de la technique CMR utilisée, estimer la taille de la population étudiée.

Exercice 11 : La Nouvelle-Zélande face à une espèce invasive : le rat noir Rattus rattus.

Dès leur arrivée en Nouvelle-Zélande autour de 1200, les êtres humains y ont introduit de nombreuses espèces. Sans prédateurs naturels, certaines pullulent. Ainsi, de nos jours, ia vallée de l'Orongorongo est confrontée à une invasion de rats noirs, que les autorités essaient de limiter. Un site de ta vallée est pris pour étude

DOC1 : Résultats de CMR sur la période 2003-2004 dans la vallée d'Orongorongo

Individus capturés en début de session Individus capturés en fin de session Individus marqués dans la recapture

Session de 2003 34 52 26

Session de 2004 28 60 24 1) Déterminer la taille de la population au départ de l'étude en 2003.

2) Déterminer la taille de la population en 2004.

3} Le gouvernement craint une croissance de la population. A l'aide des résultats de l'étude, donner des arguments pour confirmer ou modérer cette crainte.

4) Une ville envisage de lancer une campagne massive de dératisation. Les scientifiques veulent estimer l'impact du poison sur la mortalité au sein de la population de rats. Sur 200 rats retrouvés morts depuis le début de l'étude, 100 présentent des signes d'empoisonnement, soit 50 %.

Déterminer si cette fréquence observée est précise à ± 3 % avec un niveau de confiance de 95 %.

5) Le gouvernement néo-zélandais considère que cette estimation n'est pas assez fiable.

Calculer le nombre de rats devant être échantillonnés pour considérer que cette valeur de 50 % de rats empoisonnés soit fiable à + 3 % avec un niveau de confiance de 95 %.

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