On analyse ce que l’on peut dire de la fréquence f du caractère C sur un échantillon de taille n prélevé de manière aléatoire dans cette population

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Douine – Terminale S – Travail à distance 44

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Intervalle de fluctuation (avec la loi binomiale) Dans une certaine population la proportion d’individus présentant le caractère C est p.

On analyse ce que l’on peut dire de la fréquence f du caractère C sur un échantillon de taille n prélevé de manière aléatoire dans cette population.

Si on note X_n la variable aléatoire associant à chaque échantillon de taille n le nombre d’individus présentant le caractère C et si on note F_n la variable aléatoire définie par F_n  X_n n qui correspond à la fréquence du caractère C dans l’échantillon, alors nous avons vu que :

 X_n suit la loi binomiale ^{B n p} ^, ^.

 On peut donc déterminer à l’aide de la loi binomiale un intervalle de la forme ^{a n b n}^; ^,

avec a et b deux entiers tels que p X n a^{0, 025} et p X n b^{0, 025}.

 Un tel intervalle vérifie n ^; ^{0, 95}

p F a b

n n

  

  

  .

 Un tel intervalle est donc appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

Rappel indispensable : le théorème de Moivre-Laplace (admis) On considère une variable aléatoire X_n qui suit la loi binomiale ^{B n p} ^; ^.

On note

¹ 

n n

X np Z

np p

 

 la variable centrée et réduite associée à la variable X_n. Pour tous réels a et b tels que ab : ^lim     ¹ ²²

2

b x

n a

n p a Z b p a Z b e dx





      

Autre rappel indispensable

Soit Z est la variable aléatoire qui suit la loi normale ^N ^0;1 de densité  

2

1 2

2

x

f x e



 

Pour tour nombre réel  tel que 0  1 il existe un unique réel positif u_ tel que :

  ¹

p u_  Z u_  

Rappelons que la démonstration se base sur l’utilisation du théorème des valeurs interm.

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Remarquons les équivalences suivantes :

   

     

1

1 1

n

X np

I u u

np p

I u np p X np u np p

u np p X u np p

I p

n n n

p p X p p

I p u p u

n n n

 

    



      

  

   

 

    

Utilisons les deux rappels pour affirmer que :

Pour tout nombre réel  tel que 0  1 il existe un unique réel positif u_ tel que :

 

¹  ¹ 

lim lim 1

1

n

n n n

p p p p

X np

p u u p p u F p u

n n

np p

    

 

      

          

    

   

Nous pouvons en déduire que :

Pour un n « assez grand » (*) et pour un nombre réel  tel que 0  1, il existe un unique réel positif u_ (défini au chapitre précédent) tel que l’approximation ci-dessous soit vérifiée :

¹  ¹ 

n 1

p p p p

p p u F p u

n n

  

   

      

 

 

(*) en pratique, les conditions communément admises pour pratiquer ce type d’approximation sont les suivantes : n30, np5 et ⁿ¹^^p^⁵^.

Intervalle de fluctuation asymptotique

L’intervalle ¹  ¹ 

n ;

p p p p

I p u p u

n n

 

   

 

  

 

 

est un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n ^Xⁿ

 n au seuil 1, cela signifie que pour un n assez grand, la variable F_n prend ses valeurs dans l’intervalle I_n avec une probabilité proche de 1.

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Théorème fondamental

On considère une variable aléatoire X_n qui suit la loi binomiale ^{B n p} ^;  et on note F_n ^Xⁿ

 n . On considère  un nombre réel tel que 0  1 et u_ le réel tel que ^p^u  ^Z ^u ¹  où Z est la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite ^N ^0;1 ^.

Si ¹  ¹ 

n ;

p p p p

I p u p u

n n

 

   

 

  

 

 

alors ^lim  n n ¹

n p F I 

    .

Un troisième rappel important

Intervalle de fluctuation

 Au seuil de 95% : ¹  ¹ 

1,96 ; 1,96

n

p p p p

I p p

n n

   

 

    

 

 

 Au seuil de 99% : ¹  ¹ 

2,58 ; 2,58

n

p p p p

I p p

n n

   

 

    

 

 

Prise de décision au seuil de 5%

On cherche à savoir, au seuil de décision de 5%, si la proportion p du caractère C dans une population donnée vaut p p₀ ou non.

On prélève un échantillon de taille n (on fait en sorte que n30, np5 et ⁿ¹^^p^⁵^).

La prise de décision consiste en :

 Calcul de l’intervalle de fluctuation I,

 Calcul de la fréquence f du caractère C sur l’échantillon de taille n prélevé,

 Prise de décision : si f I on rejette l’hypothèse p p₀, sinon on l’accepte.

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Homme/femme

Deux entreprises recrutent leur personnel dans un vivier comportant autant d’hommes de que de femmes. Voici la répartition entre hommes et femmes dans ces deux entreprises. Peut-on suspecter l’une des deux entreprises de ne pas respecter la parité hommes/femmes ?

Hommes Femmes Total

Ent A 57 43 100

Ent B 1350 1150 2500

Discrimination

En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est condamné à huit ans de prison. Il attaque ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté est, selon lui, discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine. Alors que 80 % de la population du comté est d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées pour être jurés lors des années précédentes, il n’y a eu que 339 personnes d’origine mexicaine.

Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produit des arguments pour convaincre du bien fondé de la requête de l’accusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, utilisez la loi normale pour montrer que la sous-représentation des américains d’origine mexicaine dans les jurys de ce comté est « significative ».

Groupes sanguins

Les centres de transfusion sanguine ont diffusé le tableau des répartitions, en France, des principaux groupes sanguins. La proportion des groupes O+ et O- est p=0,44. Une collecte de sang a été organisée sur le campus d’une université à laquelle ont participé 356 étudiants. On souhaite tester l’hypothèse selon laquelle ces étudiants sont représentatifs, de la proportion des groupes O. L’analyse des prélèvements montre que sur les 356 donneurs, 148 appartiennent au groupe O. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Petits pois

Selon la théorie de Mendel, certaines cosses de petits pois devraient fournir des petits pois jaunes et verts dans des proportions respectives de 75% et 25%. On souhaite tester l’hypothèse selon laquelle la proportion des pois jaunes est p=0,75 en mettant en place une expérience permettant d’obtenir 224 petits pois considérés comme un échantillon aléatoire. L’expérience a permis d’obtenir 176 pois jaunes et 48 pois verts, que peut-on en déduire ?

La pièce de Buffon

Dans son essai d’arithmétique morale, Buffon relate une expérience selon laquelle un enfant ayant lancé 4040 fois une pièce de monnaie, obtient 2048 fois « pile ». On peut considérer que cette expérience constitue une observation d’un échantillon de taille n=4040 dans la population de tous les lancers possibles avec la pièce de Buffon. Quelle conclusion peut-on tirer du nombre de

« pile » obtenus par l’enfant ?