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D20102. Pentagone greff´e Sur les cˆot´es

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Academic year: 2022

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D20102. Pentagone greff´ e

Sur les cˆot´esA1A2 etA2A3 d’un pentagone r´egulier A1A2A3A4A5, on cons- truit, vers l’ext´erieur du pentagone, les triangles ´equilat´eraux A1A2B et A2A3C. Que vaut l’angle BA5C?

Solution

La m´ediatrice du segmentA2A3est axe de sym´etrie du pentagone et contient Cde mˆeme queA5. La droiteA5Cest bissectrice de l’angleA4A5A1qui vaut, comme les autres angles du pentagone, 180−360/5 = 108◦. Donc l’angle CA5A1 vaut 108/2 = 54◦.

Le triangle A5A1B est isoc`ele et son angle enA1 vaut 108 + 60 = 168◦. Ses angles en B et A5 valent (180−168)/2 = 6◦. Il reste pour l’angle BA5C 54−6 = 48◦.

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