L'alignement du Pentagone
Problème D281 de Diophante
On considère un pentagone ABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et un point quelconque P du plan distinct de O et des sommets du pentagone.
Démontrer que les points d’intersection des tangentes en A,B,C,D et E au cercle (Γ) avec les médiatrices des segments PA, PB, PC, PD et PE sont alignés.
Solution proposée par Pierre Jullien
Montrons étant donné un cercle (Γ) de centre O, un point quelconque P du plan distinct de O et un point courant U sur le cercle, le lieu du point d’intersection I de la tangente en U au cercle (Γ) avec la médiatrice du segment PU est une droite.
Preuve analytique
Soient (cos u, sin u) les coordonnées de U sur le cercle trigonométrique (Γ) et (p, 0) celles du point P.
La tangente en U au cercle (Γ) et la médiatrice de PU ont pour équations : x cos u + y sin u = 1 et (x- cos u)2 + (y - sin u)2 = (x-p)2 + y2
d'où il vient : -1 = - 2 p x + p 2 soit x = (p + 1 /p)/ 2
Le lieu de I est la droite homothétique de la polaire de P par rapport à (Γ), dans l'homothétie de centre P, de rapport ½.
